INFO FEUILLE D'EXERCICE n°1 Leçon n° 4

               INFO  FEUILLE D'EXERCICES   n° 1             

                      Compléments sur la dérivation de fonctions composées.

        EXERCICE 1:

                   Soit la fonction f : x → √ ( 2x - 5 )

               1. Trouver sa fonction dérivée f '.

                2. Etablir son sens de variation.

            REPONSE:

               1. Calcul de f ' ( x ).

                   La fonction f est de la forme x → √( ax + b )

                   avec a = 2  et  b = - 5

                  Or :      2 x - 5  ≥ 0   quand x ≥  2,5.

                  Donc : 

                             Df   = [ 2,5  ; + ∞ [.

                           Dd =  ] 2,5  ; + ∞ [.

                   La fonction affine x → 2 x - 5  a pour dérivée x → 2 

              Donc:

             D'après un résultat de cours la fonction  f  est dérivable l'intervalle  ]2,5 ; + ∞ [

             et  f ' ( x ) = 2 /(  2  √ ( 2 x - 5 ) )          pour tout x dans l'intervalle   ] 2,5  ; + ∞ [.

       c-à-d ici       f ' ( x ) =  1 / √ ( 2 x - 5 )              pour tout x dans l'intervalle   ] 2,5  ; + ∞ [.

                  Conclusion:

                   Pour tout x dans l'intervalle  ] 2,5  ; + ∞ [       f ' ( x ) =  1 / √ ( 2 x - 5 )

                    2. Sens de variation de f.

                On a :              1 / √ ( 2 x - 5 ) > 0      pour tout x dans l'intervalle   ] 2,5  ; + ∞ [.

                       c-à-d      f '  > 0 sur l'intervalle  ] 2,5  ; + ∞ [.

                  Conclusion :  f est strictement croissante sur l'intervalle  [ 2,5  ; + ∞ [.

            Remarque : On pouvait obtenir le sens de variation de f sans dériver

                     en disant que f est la composée de deux fonctions de même sens de variation

                    √   et    x → 2 x - 5   

------------------------------------------------------------------------------------------

     EXERCICE 2

               Soit la fonction f : x →  ( x2 - 2 x )4    

               Donner le sens de variation de la fonction f.

---------------------------------------------------------------------------------

        REPONSE : 

         Soit la fonction polynôme  u  : x →   x2 - 2 x.

          u est définie et dérivable dans IR.

           u ' : x→ 2 x - 2

          On a  :   f  = un      

          avec n = 4 

          n  est un entier naturel non nul.

          Donc, d' après un résultat de cours,   u4   , 

          c-à-d   f est dérivable dans IR.

          De plus on a :                 f '  = 4  u '  u4 - 1

            Soit x dans IR.

            On a :      f '( x ) = 4 ( 2 x - 2)  ( x2 - 2 x )3    

           c-à-d

                       f ' (  x ) = 8 ( x - 1 ) ( x2 - 2 x ) (x2 - 2 x )2   

           c-à-d 

                        f ' (  x ) = 8  x( x - 1 ) ( x - 2 ) (x2 - 2 x )2 

                Ainsi   f ' x) est du signe de   x( x - 1 ) ( x - 2 )

               pour tout x dans IR

          Faisons un tableau de signes:

 x   - ∞       0           1          2          + ∞ 
x ( x - 1 )      +      0     -     0                  +
x- 2                 -                     0      +
 x( x - 1 ) ( x - 2 )      -       0     +    0     -    0     +

            Conclusion:

             •  f est strictement croissante sur les intervalles 

                     [ 0 ; 1 ]   et [ 2 , + ∞ [

             •  f est strictement décroissante sur les intervalles

                            ] - ∞ , 0 ] et [ 1 ; 2]

-------------------------------------------------------------------------

      EXERCICE 3

                   Soit la fonction :

                    Racq

             Donner son sens de variation sur l'intervalle ] 1, + ∞ [

-----------------------------------------------------------------------------------------

          REPONSE:

             Soit la fonction rationnelle ( homographique ici )

                    Frat

            u  est définie , dérivable et strictement positive sur l'intervalle ] 1, + ∞ [.

           Or  f  = √ u

          Donc,   d'après un résultat de cours , la fonction   √ u

         c-à-d      f  est définie et dérivable sur l'intervalle    ] 1, + ∞ [  et 

                     Derivracu

                   f ' est du signe de u ' sur  l'intervalle    ] 1, + ∞ [

                    car   2 √ u > 0  sur   l'intervalle   ] 1, + ∞ [.

               Soit x dans    ] 1, + ∞ [.

                        On a :

                               Caluprim

               Ainsi :                  u ' ( x ) < 0 pour tout x dans   ] 1, + ∞ [.

              On a  :                  f ' < 0 sur   ] 1, + ∞ [.

                 Conclusion :

                         f est strictement décroissante sur l'intervalle   ] 1, + ∞ [ .

------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE 4

          Soit la fonction:

                     Racpoly

                 Donner le sens de variation de f.

-----------------------------------------------------------------------------------

             REPONSE:

                Soit la fonction polynôme  u : x → x2 - 2 x + 3 

                Son discriminant simplifié est : 

                    Δ'  = b' 2  - a c                       a = 1        b ' = - 1           c = 3

                     c-à-d

                      Δ'  =  ( - 1 2) - 3 = - 2

                      Ainsi     Δ'  < 0 

                           et          a > 0

                               Donc     x2 - 2 x + 3  > 0 pour tout réel x.

                        On a la fonction u qui est définie dérivable

                        et strictement positive  sur IR.

                      On a aussi :   f  = √ u 

                     Donc , d'après un résultat de cours,  la fonction  √ u   c-à-d

                                 f est définie et dérivable dans IR et l'on a:

                                                

                       f ' est du signe de u ' sur  IR

                       car   2 √ u  > 0  sur  IR.

                          Soit x dans IR.

                         On a :          u ' (  x ) =   2 x   - 2 = 2 ( x - 1)

                        f ' ( x ) est du signe de x - 1

                         Donc:

x    -  ∞     1       + ∞
f '( x)         -     0  +
f( x )        ↓    √3      ↑

                  Conclusion : 

                    f est strictement croissante sur l'intervalle  [ 1 , + ∞ [

                     f est strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ , 1 ]

-----------------------------------------------------------------------------

       EXERCICE 5

           Etudier les variations de la fonction :

                 Inve

----------------------------------------------------------------

              REPONSE:

                Soit la fonction polynôme  u : x → x2 + 1

                 On a :    f = 1 / u2    =  u - 2    

                Donc   f  = u n     avec n < 0  et n entier

               La fonction u est définie dérivable et non nulle sur IR.

                 D'après un résultat de cours la fonction    u - 2    c-à-d

                f   est définie et dérivable dans IR  et l'on a :

                     f '  = (   u - 2    ) '  = - 2 u ' u- 3  

                 Ici    u ' : x → 2 x   

                 Soit  x dans IR .

                                On a :

                                f '( x ) =   - 2 ( 2 x )(x2 + 1) - 3    

                          f '( x ) est du signe de -x.

                                            f '(x ) = 0 ssi   x = 0 

                                            f ' < 0 sur l'intervalle ] 0 , +∞ [

                                             f '( x ) > 0     sur l'intervalle ] - ∞ , 0 [

                 Conclusion :

                   f est strictement décroissante sur es réels positifs.

                       f est strictement croissante sur les réels négatifs.

------------------------------------------------------------------