INFO Dv n° 5 TS1 maison 22 nov 2014

                      INFO       DV   n° 5   22 nov. 2014   TS1

        EXERCICE 1          

             Soit la fonction f :  x →  (   2 x3 − 3 x + 4 )5

            Donner  Df , Dd  et  f ' .

            Étudier les variations de f.

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          REPONSE:   

                            23mlk 1

            •  Soit la fonction polynôme u : x →  2 x3 − 3 x + 4  définie et dérivable dans IR.

                 On a :  f = u5    

                 5 est un entier naturel et 5 ≥ 2

             Donc      f est définie et dérivable dans IR.

             De plus            f ' = ( u 5  ) '   = 5 u4  u '

             On a :                 u ' : x → 6 x2  − 3

                   c-à-d       u ' :  x → 3 ( 2 x2 − 1 )

             Ainsi               f ' : x → 15 (   2 x3 − 3 x + 4 )4  × ( 2 x2 − 1  )                      

                    Conclusion :

            Df  =  Dd  = IR          et        f ' : x → 15 (  2 x3 − 3 x + 4 )4 (2 x2 − 1 )

           •  Donnons le sens de variation de f.

                     Comme 4 est un entier pair   ( 2 x3 − 3 x + 4 )4   ≥ 0   pour tout réel x

                         La fonction  u : x → 2 x3 − 3 x + 4  ne peut s'annuler que pour

                         trois valeurs de x au plus dans IR.

                         Donc la fonction   u4 : x →  ( 2 x3 − 3 x + 4 )4    est strictement

                         positive sur IR  sauf pour un nombre fini de valeurs de x

                         où elle peut s'annuler.

                          On a :                   2 x2 - 1 =  0  s'écrit    x = ± √2 / 2

                         On  a :           2 x2 - 1 > 0    pour tout réel     x < - √2 / 2    ou  x >  √2 / 2

                                                  2 x2 - 1 < 0     pour tout réel       - √ 2 / 2 <  x  < √2 / 2                                             

                     Donc       f ' > 0  sur ] - ∞  , − √2 / 2 [   U ]  √2  / 2  , + ∞ [  sauf au plus pour

                                   un nombre fini éventuel de valeurs de x où elle s'annule.

                              et    f '< 0   sur l'intervalle  ] − √2  / 2 ,  √2  / 2  [ sauf au plus

                                        pour un nombre fini éventuel de valeurs de x où elle s'annule.                       

                   Conclusion:

                         f est croissante strictement sur l'intervalle  ] - ∞  , − √2 / 2 ]   U [  √2  / 2  , + ∞ [  

                       f est décroissante strictement  sur l'intervalle  [ −  √2  / 2 ,  √2  / 2  ]

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     EXERCICE 2

                        f:  x → √( x2  + 2 x −  3 )              

                     Donner  le sens de variation de f .

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         REPONSE:     

                 111liu

  •  Soit la fonction polynôme u : x →  x2 + 2 x − 3  définie et dérivable dans IR.

          1 est une racine évidente de u( x ).   (  En effet   1 + 2 − 3 =0 )

           L'autre  est :        c / a = − 3

           Donc d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré:

              •   u ≥ 0      sur    ]  − ∞  , − 3 ]  U [ 0 , + ∞ [

               •   u > 0  sur  ]  − ∞  , − 3 [   U ] 0 , + ∞ [

                 u est dérivable sur    ]  − ∞  , − 3 [   U ] 0 , + ∞ [

                      f = √u

              f est donc définie sur   ]  − ∞  , − 3 ]  U [ 0 , + ∞ [   et dérivable sur 

               ]  − ∞  , − 3 [   U ] 0 , + ∞ [ .

                     f ' =  u ' / ( 2 √ u ) 

                   f ' est du signe de u ' .

                                     u ' : x → 2 x +  2

                  c-à-d  de       u ' x → 2 ( x + 1 )

                    Sur      ] 0 , + ∞ [            u ' > 0

                    Sur     ]  − ∞ , − 3 [         u ' < 0

                 Conclusion :

                        Df =   ]  − ∞  , − 3 ]  U [ 0 , + ∞ [

                       Dd  =     ]  − ∞  , − 3 [   U ] 0 , + ∞ [ .

                          f est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [   

                           f est strictement décroissante sur l'intervalle    ]  − ∞  , - 3 ]       

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        EXERCICE 3      

              Soit la fonction f :  x →  (  x2 + 1 )- 5

                Donner  Df , Dd  et  f ' .

               Étudier les variations de f.

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         REPONSE:

                                   15bngft 2

           Soit la fonction polynôme   u : x → x2 + 1  qui est définie dérivable sur IR et qui ne 

            s'annule pas dans IR.

               − 5 est un entier relatif et   − 5 < 0   

       On a :         f = u − 5  

      Donc d'après un résultat de cours f est définie et dérivable dans IR et l'on a :

                    f ' = (  u − 5 ) ' = − 5 u − 5 − 1   × u '     sur  IR

            c-à-d 

                  f ' = − 5 u − 6  ×  u '               sur  IR

           Comme    u ' : x → 2 x    

             On a

                     f ' x  →   − 5 ( x2 + 1 ) − 6  × 2 x

            c-à-d 

                      f ' : x → 10 ( x2 + 1)− 6  × ( − x )

                Comme  x2 + 1 > 0  pour tout nombre  réel x

                on peut dire:

              f ' ( x ) est du signe de - x et ne s'annule que pour  x = 0

             f ' > 0  sur   ] − ∞ , 0 [

             f ' < 0   sur   ] 0, + ∞ [

           Conclusion:

                  Df = Dd = IR

                 et  

               f est strictement décroissante sur [ 0, + ∞ [

               f est strictement croissante sur   ] - ∞ , 0 ]

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