INFO EX 2 DV n°6 TS1 Mardi 18 déc. 2012

              INFO EX 2   DV n° 6   TS1  Mardi 18 décembre 2012

           EXERCICE 2

                   Le plan est muni d'un repère orthogonal.

                      a10.png

                   On note ( C ) la courbe représentative de f.

         1. Montrer que la fonction f est continue dans IR.

         2. Montrer que la fonction f est paire.

              Que peut-on en déduire pour la courbe?

         3. a. On admet que la fonction f est dérivable en 0.

                  Montrer que la fonction f est dérivable sur IR.

             b. On note  f ' la fonction dérivée de f.

                  Calculer f ' ( x ) pour x non nul.

            c. Montrer que pour x > 0 ,  f '( x ) est du signe de x cos x - sin x.

       4.a.

           a11.png

           Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle [ 0 ; 2 π ].

           En déduire le signe de g sur l'intervalle  [ 0 ; 2 π ].

            On donnera une valeur approchée à 10-1 près de la valeur strictement

            positive α telle que g( α ) = 0.

             b. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle  [ 0 ; 2 π ].

       5.  Soit H1  et H2    les courbes représentatives  des fonctions définies sur IR*

            respectivement par:

                              a12.png

                              h2( x ) = - h1( x ) 

              a.  Donner les coordonnées des points d'intersection de ( C )

                   avec H1 et avec  H2  pour x dans l'intervalle ] 0 , 2 π ]. 

              b. Tracer  H1  ,  H2   et  ( C ) sur l'intervalle  [ -  π , 3 π] privé de 0.

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    REPONSE: 

              e37-1.png

    1. Montrons que la fonction f est continue sur IR.

           Pour cela montrons qu'elle est continue sur IR*  et en 0.

        • Sur IR*.

          Soit les fonctions u: x → sin x  et  v: x→ x. 

          Les deux fonctions u et v sont définies et continues dans IR* et 

          v est non nulle sur IR*.

        Donc la fonction  u /v  c'est-à-dire  f  est défine et continue dans IR*.

      • En  0.

               On a d"après le cours :

                         e29-1.png                               

       Finalement:           

       Conclusion: f est continue sur IR.

   2. Montrons que f est une fonction paire.

     •  f est définie dans IR qui est un intervalle symétrique par rapport à 0.

     •  De plus montrons que :

        e31.png

        On le fait en deux temps :

           ••   f( - 0 ) = f( 0 ) = 1

       et

          •• 

              e30-1.png 

        Conclusion :    La fonction f est paire.

                 Comme le repère est orthogonal on en déduit que l'axe

                 des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe de la fonction f.

            3a. Comme la dérivabilité en 0 de f est admise, seule la dérivabilité

                 de f dans IR* est à expliquer.

                 On peut dire:

             Les deux fonctions  u : x → sin x  et  v : x→ x  sont définies et

            dérivables dans IR* et v est non nulle sur IR*.

        Donc la fonction  u / v  c'est-à-dire  f  est défine et dérivable

       dans IR*.              

                Conclusion :  f est dérivable dans IR

            b. Trouvons f ' ( x ).

                  On a :     u  = cos    et  v '  = 1  sur  IR*

                 Soit x dans IR*.

                 On a :                  

                  e32.png

                    Conclusion:

                           e33.png

                          pour tout x dans IR*.

           c. Montrons que f '( x) est du signe de    x cos x - sin x  

              pour tout x dans IR*+    .

                Soit  x > 0.

               Alors  x2  > 0  aussi.

              Donc  

              e34.png

      4.a. Etude de la fonction g sur l'intervalle [ 0 ; 2 π ]

                        e38.png

                     g est définie et dérivable sur IR comme somme et produit de telles fonctions.

                     Soit x dans l'intervalle [ 0 ; 2 π ].

                    On a:   g '( x )= cos( x ) - x sin( x) - cosx =  - x sinx

                    Comme x est positif  sur l'intervalle [ 0 ; 2 π ] on a  g' (x ) qui est du signe de - sinx.

                             g '( x ) = 0 ssi x = 0 ou  x = π     ou x  = 2 π

                            g ' ( x ) < 0 quand        0 < x  < π

                             g '( x ) > 0 quand       π < x < 2  π

                    Tableau de variation:

x 0          π                    2 π   
g ' (x ) 0    -     0      +              0
g( x )  0  ↓    - π       ↑            2 π

                 g (  π ) =  π cos π  - sin π = - π          g( 0 ) = 0 × cos0 - sin0 = 0

                  g ( 2π) =   2π × cos 2π   - sin 2π =  2π  × 1 =   2π

        Conclusion :   

                   g est strictement décroissante sur l'intervalle [ 0 ;   π ]

                  g est strictement croissante sur   l'intervalle [  π ,  2 π]

            • Donnons le signe de g.

                      On a:       g  <  0   sur [ 0 , π]     d'après le tableau.

                      Comme g est définie  continue et strictement croissante sur [  π , 2 π]

                     avec g(  π ) < 0  et   g( 2 π ) > 0   l'équation g ( x ) = 0 admet une unique solution α

                     sur l'intervalle [  π , 2 π].

                      Ainsi on déduit du sens de variation de g le tableau:

                         Conclusion:

x 0       α       2 π 
g ( x )      -    0   +

                        Par dichotomie on obtient :      

                             e45-1.png

                      b. Déduisons le tableau de variation de f.

                            Le signe de f ' est celui de g.

                               Donc : 

x 0             α                 2 π  
f ' (x )   -            0         +
f (x )        ↓     f(  α)       ↑

             5. Donnons les coordonnées des points communs entre ( C ) et ( H1).

                  Pour cela considérons:

                    y = 1 / x                         avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                    y = sin x   / x

          c-à-d

                        y = 1 / x                     avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                        sin x  = 1

           c-à-d 

                        y = 1 / x                     avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                         x =  π / 2   ( 2 π )

           c-à-d   

                                  y = 2 /  π

                                  x =  π / 2

              e40.png

            Donnons lescoordonnées des points communs entre ( C ) et ( H2).

             Considérons:       

                     y = - 1 / x                         avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                    y = sin x   / x

         c-à-d 

                     y = - 1 / x                         avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                     sin x  = - 1

            c-à-d 

                       y = - 1 / x                         avec      x   dans ] 0 ; 2 π]

                      x  = 3 π / 2    ( 2 π )

             c-à-d

                        y = - 1 / x                      

                      x  = 3 π / 2   

                 e41.png

         b . Courbes.                ( C ) en rouge  .  ( H 1 ) en bleu.    ( H2 ) en vert.

                    e42.png