COURS Résumé Suites TS sept 2012
-IV- AUTRES DEFINITIONS.
1.Limite finie d'une suite.
Soit la suite ( un ) définie sur [[ n0 , +∞ [.
Soit L un nombre réel.
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
• lim un = L
n → +∞
• Tout intervalle ouvert qui contient L contient tous les termes
de la suite ( un ) à partir d'un certain rang.
2. Exemple basique.
Soit la suite ( un ) définie sur IN* de terme général un = 1/ n
lim un = 0
n → +∞
Justification :
Soit deux réel ω et θ quelconques tels ω < 0 et θ > 0 .
Considérons l'intervalle ouvert ] ω , θ [. Il contient 0.
Cherchons alors un entier naturel n' non nul tel que
pour tout entier n , n ≥ n' => ω < 1 / n < θ
Considérons ω < 1 / n < θ
ω < 1 / n sera toujours vrai car ω < 0 et 1 / n > 0 sachant n dans IN*.
ω < 1 / n < θ se résume donc à 1 / n < θ c-à-d 1 / θ < n
c-à-d n > 1 / θ .
Nous voulons n ' dans IN* tel que : n ≥ n' => n > 1 / θ
Il suffit de prendre l'entier non nul n' tel que n' > 1 /