BAC 2008 LIBAN Série S

                          

             EXERCICE DE BAC sur les suites.     TS     sept 2012

     Partie A

            Démonstration de cours

            Prérequis:  définition d'une suite tendant vers plus l'infini

            << Une suite tend vers + ∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite 

                 sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A>>.

            Démontrer le th. suivant : << Une suite croissante non majorée tend vers +∞ >>.  

     Partie B         

           On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [ par:

                                       f ( x ) = ln( x + 1 ) + ( 1 / 2 ) x2

           La courbe ( C ) représentative de f dans un repère orthogonal

           obtenue à l'aide d'un tableur est donnée ci-dessous.

           Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

                courbe1-de-f-bac-liban.gif

      1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  [ 0 ,  + ∞ [      

      2.Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe de ( C )

           au point d'abscisse 0.        

      3. Tracer la droite ( T ) sur le graphique . Dans la suite  de l'exercice,

          on admet que, sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ , la courbe ( C ) est située au dessus

          de la droite ( T ).                                  

      Partie C

        On considère la suite ( u ) définie sur IN par u0 = 1 , et pour tout entier naturel n :

                un + 1 = f( un )   

          1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite ( un ) 

             en laissant apparents les traits de construction.( Utiliser le graphique donné )

           2. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de

                variation de la suite ( un ) et son comportement lorsque n tend vers + ∞.    

           3. a. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier 

                     naturel n ,  un ≥ 1.

               b. Montrer que la suite est ( un ) est croissante .

               c. Montrer que la suite ( un ) n'est pas majorée.  

               d. En déduire la limite de la suite ( un ).

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