DS n° 1 TS1 4/10/14

                    DS n° 1            TS1                     4/10/14     2 h                

    EXERCICE 1   Extrait d’exercice de bac  S  2014

          Soit a, b , c  trois nombres réels.

           On considère la suite ( wn ) définie sur IN  de terme général

                      wn = a n2 + b n + c   pour tout n dans IN

          1. Déterminer les trois nombres réels a,b,c sachant

              que  w0  = 0 , w1 = 2  et  w2 = 6.

          2. Trouver    lim  wn 

                      n → + ∞

         3.Déterminer le sens de variation de la suite  ( wn ).

         4.On définit pour tout entier naturel  n, la suite  ( tn ) par :

                        tn =  wn + 1   - wn 

                a.Exprimer  tn  en fonction de n.

                b.Quelle  est la nature de la suite  ( tn ) ?

                c.On définit,  pour tout entier naturel n ,

                               1b  

                   Montrer que  Sn  = ( n + 1 ) ( n + 2 )

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          EXERCICE 2       Extrait d’exercice de bac S  2014

On considère la suite  ( un ) définie par :

      u0 = 0

      un+1   = 3 un - 2 n + 3   pour tout n dans IN

   1. Calculer u1  et u2.

   2. Quelle conjecture sur le sens de variation de la suite ( un ) pouvez-vous faire ?

   3. Montrer par récurrence sur  IN que :

            un   ≥ n    pour tout n dans IN

   4. En déduire ( sans récurrence ) le sens de variation de la

       suite  ( un ) sur IN .

    5. Soit la suite  ( vn ) définie sur IN  par :                                                                                                   

                  vn =   un   - n + 1  

       a.Etablir que la suite ( vn ) est géométrique.

      b.Donner son terme général vn en fonction de n dansIN.

       c.En déduire  un  en fonction de n dans IN.

       d.Déterminer   lim  un 

                              n → + ∞

       6. Soit p un entier naturel non nul fixé.

               ( Dans cette question aucune récurrence n’est demandée )

          a. Montrer que  u3 p  ≥ 10 p   .

         b. Montrer  que pour tout entier naturel  n  ,  si  n ≥ 3 p   alors  un   ≥ 10p.

         c. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier naturel n0

             tel que pour tout entier naturel n,  si  n ≥ n0  alors un   ≥ 10p ?

         d.Dans le cas où  p = 3 déterminer à l’aide de la table de la calculatrice

              le plus petit entier n0 convenable.

      7. On considère l’algorithme suivant :

             Les variables sont le réel U et les entiers naturels  k et N.

Entrée

 Saisir le nombre entier naturel non nul N

Traitement

Affecter à U la valeur 0

Pour k allant de 0 à N-1

Affecter à U la valeur 3U-2k+3

Fin Pour

Sortie

 Afficher U

 

 

 

 

 

         Soit N = 3

         Que donne alors cet algorithme ?

          8. Donner un algorithme qui pour un entier p non nul donné

             affiche en sortie la valeur du plus petit  entier n0 tel que

             pour tout entier n , si  n ≥  n0  alors   un   ≥ 10p.

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