Devoir n° 1 TS1 Pour le 21 septembre 2012
EXERCICE 1
Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:
u0 = 2
un + 1 = 0,5 un + 0,5 pour tout n dans IN.
Soit vn = un - 1 pour tout n dans IN.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
1. Réprésenter à l'aide d'un web les premiers termes de la suite ( un )
sur l'axe des abscisses.
2. Que pouvez- vous conjecturer quant au sens de variation de
la suite ( un ) ?
3. Justifier par récurrence sur IN cette conjecture.
4. Etablir que 0 ≤ un ≤ 2 pour tout n dans IN .
5. Démontrer que la suite ( vn ) est géométrique.
6. Exprimer vn en fonction de n.
En déduire l'expression de un en fonction de n.
7. Etablir que la suite ( un ) converge vers 1.
8. Calculer la somme u0 + ..... + un en fonction de n.
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EXERCICE 2
Soit la suite ( wn ) définie sur IN* de terme général
wn = 1 / ( n ( n +1) ) pour tout n dans IN*.
1. Trouver deux réels a et b tels que :
wn = a / n + b / ( n + 1 ) pour tout n dans IN*
2. Soit la somme: