INFO AP 2 du vendredi 28 sept 2012

                  INFO de l'AP du 29 / 09 / 12


                 EXERCICE1              

                    On considère l'énoncé suivant:

                  1. f est la fonction définie sur l'intervalle ] - 3 , + ∞ [ par :

                                                fonction-homographique.gif

                     a. Etudier les variations de f sur l'intervalle  ] - 3 , + ∞ [.

                     b. En déduire que 

                                             si-alors.gif

                    2. Soit la suite ( un ) définiesur IN  par :

                                 suite-recurrente900.gif                                 

                   a. Démontrer que la suite ( un )  est bornée.

                    b. Etudier la monotonie de la suite ( un ) .

                    c. En déduire que la suite ( un )  est convergente.

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         REPONSE:

        1. Sens de variation de la fonction f.

             Soit x dans l'intervalle ] - 3 , + ∞[.

              On a:

                    modification-d-ecriture-1.gif    

              La fonction rationnelle  f est dérivable sur son domaine de définition .

                On a directement     f '  : x→  4 /( x + 3 )2   

                   On a      f ' (x ) > 0    pour tout x dans  ] - 3 , + ∞ [ .

               Conclusion:  la fonction f est croissante sur  ] - 3 , + ∞ [ .

             b. Déduisons  que 

                           si-alors.gif

                      Soit  :              

                                        condition.gif 

                     c-à-d             1 ≤ x ≤  4

                     Comme la fonction f est croissante sur l'intervalle ] - 3 , + ∞ [.

                    on a :              f( 1 ) ≤ f( x ) ≤ f( 4 )

                   Mais  f ( 1 ) = 4 / 4 = 1        et    f( 4 ) =  10 / 7    

                   Ainsi     1  ≤ f( x ) ≤  10 / 7 

                   Or                          10 / 7 < 4

                    Donc                      1  ≤ f( x ) ≤   4 

                  c-à-d  

                                                  autre-condition.gif 

           2. Montrons que la suite ( un )  est bornée.

               Pour cela établisssons, par récurrence sur IN, que:  

                1  ≤ un ≤   4   pour tout n dans IN

                  • n = 0  

                           On a:              u0  =2,9

                            Or                  1  ≤ 2,9 ≤   4 

                         Donc                1  ≤ un ≤   4   est vrai pour n = 0

                    • Soit n dans IN quelconque.

                       Montrons que si    1  ≤ un ≤   4  alors    1  ≤  un + 1  ≤   4 

                       Considérons

                                      appartenance.jpg

                        Comme                         

                        si-alors.gif

                        on peut en déduire que:

                                encadrement.gif

                     Conclusion : Le résultat est prouvé sur IN.

           b. Etudions la monotonie de la suite.

                         Comparons ses deux premiers termes.

                           On a :     u0  = 2,9     et       u1 = f(  u0 )  = f( 2,9 )

                            f( 2,9 ) ≈ 1,32

                         On a                       1,32 < 2,9    

                         c-à-d     inegalite2479.gif  

                       On peut conjecturer que la suite semble décroissante.

                    • n = 0

                             On vient de voir que   

                                                   inegalite2479.gif

                            L'inégalité est vraie pour n = 0

                        phrase14.gif

                                      Montrons que     

                                     implication.jpg

                                    Considérons

                                          inegalite421.gif

                       Comme les termes de la suite sont dans l'intervalle [1 ; 4]

                          et

                                  message-4178.gif

                                   on en déduit:

                                                       inegalites.gif

                   Conclusion : La suite est montone décroissante sur IN

        c. Justifions que la suite est convergente.

                     La suite est décroissante et minorée par 1.

           Donc :

           Conclusion : La suite converge