INFO DV n°1 TS1 16 sept 2014

                         INFO   DV n° 1              TS1              16 sept. 2014

        EXERCICE 1

         1. Montrons que 11 divise 10n - ( - 1 )n    pour tout n dans IN

               par récurrence.

           La propriété considérée est bien définie sur IN.

        •n = 0      

                 On a :

                       6a 1      

                            0   est bien divisible par 11

                Donc la  propriété est vraie pour n = 0

       • Soit n dans IN quelconque.

             Montrons que si    11 divise 10n - ( - 1 )n  alors  11 divise 10n + 1 - ( - 1 )n +1    .

             Considérons:

                           11   divise   10n - ( - 1 )n    

        On a :                     10n + 1 - ( - 1 )n + 1    =   10n     × 10   -   ( - 1 )n   × ( - 1 )

     c-à-d           10n + 1 - ( - 1 )n + 1    =   10n     ×  ( 11 - 1 ) +  ( - 1 )n    =   10n    × 11 - 10n    + ( - 1 )n     

     c-à-d           10n + 1 - ( - 1 )n + 1    =   10n    × 11 - (  10n    -  ( - 1 )n     )

        Or             11 divise   10n    × 11    et   11  divise   10n    -  ( - 1 )n

      Donc                    11 divise    10n + 1 - ( - 1 )n + 1     

               Conclusion : Le résutat est montré.

    2. Montrons que 5n - 1  est divisble par 4 pour tout entier naturel n.

           La propriété est définie sur IN.

        • n = 0

                 On a  :    50 - 1  = 1 - 1 = 0

                             0 est bien divisible par 4 .

                 Donc la propriété est vraie pour n = 0

         • Soit n dans IN quelconque.

          Montrons que si 4 divise 5n - 1     alors 4 divise  5n + 1 - 1 

               Considérons:  

                              4  divise  5n  - 1

                On  a :

                      5n + 1 - 1 =  5n × 5 - 1 = 5n ( 4 + 1) - 1 = 5n × 4  + 5n - 1 

                Mais          4 divise aussi  5n × 4       

                Donc         4 divise       5n × 4 + 5n - 1     

                c-à-d         4  divise     5n + 1 - 1

                           Conclusion:   Le résultat est avéré.

      3. Montrons par récurrence sur IN que 1 ≤ 2n  .

            • n = 0

                    5a

                  Donc  on a :      1 ≤  20   

                  L'inégalité est vraie pour n = 0

              • Soit n dans IN quelconque. 

               Montrons que   si   1≤ 2n  alors   1 ≤ 2n + 1  

               Considérons :

                                3a 

                Donc      1 × 2 ≤ 2n × 2 

                    c-à-d    

                             4a     

              Conclusion : Le résultat est avéré.

           4. Montrons par récurrence sur IN que n < 2n  pour tout n dans IN.

               La propriété est définie dans IN.

                 •  n = 0

                      2a  

                       Donc    la propriété est vraie pour n = 0

              • Soit n dans IN quelconques.

                    Montrons que si

                    1a

               Considérons:

                            8a

                Donc   en ajoutant 1 aux membres:

                               9a      (   1 )

               Mais  d'après la question n°3

                                   7a

                Donc

                                 10a

             D'où à l'aide de ( 1 )                             

                                     11a

                 Conclusion : Le résultat est prouvé.

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            EXERCICE 2

           1.  Montrons que :

                                    12a

               Soit un entier n dans  IN quelconque:  

                                    13a 1

                Or  l'inégalité de bernoulli donne:

                                             14a

                             Conclusion:

                                12a

       2. Etudions quand n tend vers + ∞ le comportement de 

                15a   

              Vue l'inégalité précédente

             12a

             regardonsd'abord le comportement de 

                       18a

                   16a

                             c-à-d               

                       Conclusion:

                                17a

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           EXERCICE 3

             Soit le suite récurrente définie par:

                                 23a

                                 24a

            1. Trouvons v2  et v3   .

                     On a:

                            20a

               2. Conjecturons vn en fonction de n.

                             22a

                           Sans titr21a

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