INFO DV n°2 TS1 27 sept 2014

                        INFO           DV n° 2                    TS1            pour le 27 sept 2014

    EXERCICE 1   ( extrait de bac 2010 )

      On a :

                    1c

   1. Calculons les termes u1  ,  u2  , u3.

                         29q

              u1   = - 5 / 3

                        30q  

           u2   = - 14 / 9

                       31q 1

         u3   = - 14 / 27   

           (    u4  = 67 / 81       positif  )

    2.a. Ecrivons l'algorithme en pseudo code qui donne le seuil.

           Variables:

                 M   nombre  réel

                n  entier  naturel

                 U  nombre réel

          Début

                     n prend la valeur 0

                     U prend la valeur 1

              Tant que U ≤  M

                        U prend la valeur  ( 1 / 3 )*U +  n - 2 

                        n prend la valeur n + 1

              Fin Tant Que

              Afficher n 

                  Fin

    b. En pratique avec la calculatrice:

      Prompt M : 0 → N  : 1 → U: while U ≤ M : (1/3)*U + N - 2 → U: N + 1 → N: End:Disp "M = " : N

      Exécutons ce programme:

          Pour  M = 101   on obtient    N =   71

          Pour  M =100    on obtient     N = 71

          Pour M = 1000    on obtient     N = 671

       c. Conjecturons le comportement de la suite en + ∞.

              Tout porte à croire que la suite ( un ) diverge vers + ∞.

          3.

            ≡   Montrons par récurrence que :

                   ( ATTENTION: Une récurrence s'annonce. )

                    un ≥ 0      pour tout entier n tel que n ≥ 4

                 •n= 4       

                                 u4  = 67 / 81  

                       Donc    un ≥ 0  pour n = 4

                 • Soit n en entier naturel quelconque tel que  n ≥ 4.

                      Montrons que si   un ≥ 0   alors   un + 1  ≥ 0 

                    On a :                un + 1  = ( 1 / 3 )  un   +  n - 2

                            Or          n - 2  ≥ 0   quand    n ≥ 4.

                     et               ( 1 / 3 )  un   ≥  0  car on a  un ≥ 0  

                     Donc                    un + 1  ≥ 0 

             ≡ Montrons également par récurrence que :

                     un ≥  n - 3      pour tout entier n tel que n ≥ 5

                •n = 5 

                               n - 3 = 2

                    On a :     u5    = ( 1 / 3 ) ×( 67 / 81 ) + 4 - 2  =  553 / 243

                     Or       553 / 243 ≥ 2        car   553 / 243 ≈ 2,28

                     • Soit n un entier quelconque tel que n ≥ 5.

                        Montrons que si      un ≥  n - 3    alors      un + 1  ≥  n + 1 - 3  

                               un + 1  = ( 1 / 3 )  un   +  n - 2   

                       Comme       ( 1 / 3 )  un   ≥  0      on a ( 1 / 3 )  un   +  n - 2  ≥  n - 2

                          Ainsi      un + 1  ≥ n - 2

                          c-à-d     un + 1  ≥ n + 1 -  3

                       Conclusion: le résultat est prouvé

             4. Déduisons la limite de la suite ( u ).

                       Comme          lim (  n - 3)  = +∞

                                                    n → + ∞

                     et                         un  ≥  n - 3      pour tout entier n tel que n ≥ 5

                     La suite  ( un )diverge vers + ∞

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

              EXERCICE 2

                PARTIE A

                    On a:

             1q

             et

                   2q 

                    pour tout entier naturel n.

          1. Montrons par récurrence que:

                               3q

                    • n = 0

                             4q

                      L'égalité est vraie pour n = 0

                 • Soit n dans IN quelconque.

                      Montrons que si

                      9q

                    alors

                                    5q

               Considérons :

                                 6q

                   Comme

                           9q       

                      On a : 

                       7q

                 Conclusion: Le résultat est prouvé.         

                      3q      

                   Déduisons la limite de la suite ( un ).

                        On a :

                                  10q

                       Ainsi :

                                12q

         2.a. Déterminons le sens de variation de la suite ( Sn ). 

                   Comme la suite ( un ) est à termes strictement positifs la suite des sommes

                  partielles ( Sn )  est croissante.

            b.Calculons Sn en fonction de n.

                     On a :

                                  15q

               c. Donnons la limite de la suite ( Sn  ).

                 On a :

                              16q

               Ainsi:

                  17q

       Partie B.

                     On a :     

                      26q

                      pour tout entier naturel n.

          • Proposition 1 :

                " Si la suite ( xn ) est convergente, alors la suite ( Sn ) l'est aussi."

           Réponse : NON.

                             Contre exemple:

                         La suite ( un ) de la partie A  donne un contre exemple.

                            On a:

                                        2q

                            avec             3q

                                 et

                                                     A4 5

                               et 

                                                27q

          • Proposition 2:

                           " Les suite ( xn ) et ( Sn ) ont le même sens de variation."

                 Réponse:

                      NON.

                         Contre exemple:

                          Soit    xn = 1 / ( n + 1 )   pour tout n dans IN.

                       La suite  ( xn ) est décroissante sur IN.

                      Mais elle est à termes strictement  positifs.

                       Donc la suite ( Sn ) des sommes partielles est croissante sur IN.

            Remarque :

            On pouvait comme contre exemple reprendre les suites

              ( un ) et ( Sn ) de l'énoncé  mais cela obligeait à justifier le sens de

              variation de la suite ( un ). La suite ( Sn ) étant déjà connu comme croissante.

                   un + 1 - un = 1  + 12 / 5n + 1 - ( 1 + 12 / 5n   )   =   12 / 5n + 1 -   12 / 5n

             c-à-d

                  un + 1 - un   = ( 12 / 5n  ) ( 1 / 5  - 1 )

                 c-à-d           

                  un + 1 - un = ( 12 / 5n ) ×( - 4 / 5 )

                 Comme  - 4 / 5 < 0

                un + 1 - un ≤ 0   pour tout n dans IN.

              La suite ( un ) de l'énoncé est décroissante sur IN.

--------------------------------------------------------------------------------------------