INFO EX 2 DS 1 TS 29 sept. 2012
EXERCICE 2 Bac S Métropole juin 2005
Les deux suites de cet exercice sont indépendantes.
1. On considère la suite définie par :
u0 = 1
un + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4
pour tout entier naturel n.
On pose pour tout entier naturel n
vn = un - 6
a. Pour tout entier naturel n calculer vn + 1 en fonction
de vn .
Quelle est la nature de la suite ( vn ) ?
Réponse:
Soit n dans IN quelconque.
On a:
vn + 1 = un + 1 - 6
c-à-d
vn + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4 - 6 = ( 1 / 3 ) un - 2
c-à-d
vn + 1 = ( 1 / 3 ) un - 6 / 3
vn + 1 = ( 1 / 3 ) ( un - 6 )
c-à-d
vn + 1 = ( 1 / 3 ) vn
Conclusion : la suite ( vn ) est géométrique de raison 1/3
b. Démontrer que pour tout entier naturel n
un = - 5 ( 1 / 3 )n + 6
Réponse:
v0 =u0 - 6 = 1 - 6 = - 5
Donc vn = - 5 ( 1/3 )n pour tout n dans IN
Mais un = vn + 6
D'où
Conclusion: On a bien un = - 5 ( 1 / 3 )n + 6 pour tout n dans IN
c . Etudier la convergence de la suite ( un ).
Réponse:
- 1 < 1 /3 < 1 Donc lim ( 1 / 3 )n = 0
n→ + ∞
D'où lim [ - 5 ( 1 / 3 )n + 6 ] = 0 + 6 = 6
n → + ∞
c-à-d lim un = 6
n → + ∞
Conclusion : la suite ( un ) converge vers + ∞
2. On considère la suite ( wn )définie par :
w0 = 1
n wn = ( n+1 ) wn - 1 + 1 pour tout entier naturel n ≥ 1
Le tableau suivant donne les 10 premiers termes de cette suite.
| u0 | u1 | u2 | u3 | u4 | u5 | u6 | u7 | u8 | u9 |
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
a. Détailler le calcul permettant de d’obtenir w10.
Réponse:
10 w10 = ( 10+1 ) w9 + 1 = 11 × 19 + 1 = 210
Donc
Conclusion : w10 = 21
b. Donner la nature de la suite ( wn )
Réponse:
En voyant le tableau on peut conjecturer que la suite
est arithmétique de raison 3 car le suivant de
chaque terme est obtenu en ajoutant 2.
Montrons pour cela que :
wn = 1 + 2 n pour tout n dans IN
• pour n = 0
w0 = 1
Donc wn = 1 +2 n est vrai pour n = 0
•Soit n quelconque dans IN .
Montrons que si wn = 1 +2 n alors wn+ 1 = 1 +2( n + 1)
Considérons:
wn = 1 +2 n
Reportons dans ( n+ 1 ) wn+1 = ( n+2 ) wn + 1
Il vient :
( n+ 1 ) wn+1 = ( n+2 ) [ 1 + 2 n ] + 1
c-à-d
( n+ 1 ) wn+1 = (( n+1) + 1 ) [ 1 + 2 n ] + 1
c-à-d
( n+ 1 ) wn+1 = ( n+1)( 1 + 2 n) + (1 + 2 n ) + 1
c-à-d
( n+ 1 ) wn+1 = ( n+1)( 1 + 2 n) + 2 + 2 n
c-à-d
( n+ 1 ) wn+1 = ( n+1)( 1 + 2 n) + 2( n + 1 )
c-à-d