INFO EX 2 DV 2 TS1 5/10/12

              INFO  EXERCICE 2  Devoir à la maison n° 2     5 oct. 2012

         EXERCICE 2      

              1. Déterminer deux nombres réels a et b tels 

                   pour tout entier naturel k  

                   1 / [( k + 1 )( k + 2 )] =  a / ( k + 1)  + b / ( k + 2 ) 

               2.  Soit la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n par:

                     suiteterme-general-d-une-suite-u.jpg

                     a. Calculer les quatre premiers termes de la suite ( u n ).

                     b. Montrer que  un = 1  - 1 / ( n + 2 )  pour tout n dans IN.

                     c. Déterminer la limite de la suite ( u n ).

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     REPONSE:  

     1.Déterminons deux nombres réels a et b tels 

                   pour tout entier naturel k  

                 identification1.gif  

         Réduisons au même dénominateur et identifions les numérateurs. 

         par-identification2.gif

    2.  a. Calculer les quatre premiers termes de la suite ( u n ).

             egalite3745.gif

         On a :  

            suiteterme-general-d-une-suite-u.jpg

       Ainsi :

            premiers-termes.gif

     On constate au passage que l'on peut conjecturer que 

                 un  =  ( n + 1 )  / ( n+ 2 )    pour tout n dans IN

      b. Montrer que  un = 1  - 1 / ( n + 2 )  pour tout n dans IN.

           Posons    wk  =  1 / [( k + 1 )( k + 2 )]    pour tout k dans IN.

           sommeverticale.gif

      c. Déterminons la limite de la suite ( u n ).

           On a :    

            limite45-1.gif 

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