INFO EX 2 FEUILLE d'exercices sur les suite TS sept 2012
EXERCICE 2
Montrer que 3 divise 5n - 2n pour tout n dans IN.
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Réponse: ( Utile pour la spé maths )
Faisons une récurrence sur IN.
• n = 0
On a :
50 - 20 = 1 - 1 = 0
et 3 divise 0
3 divise 5n - 2n est vrai pour n = 0
• Soit n dan IN quelconque.
Montrons que si 3 divise 5n - 2n alors 3 divise 5n + 1 - 2n + 1
( Ce qui se formalise en : 3 | ( 5n - 2n ) => 3 | ( 5n + 1 - 2n + 1 ) )
Considérons que :
3 divise 5n - 2n
On a: 5n + 1 - 2n + 1 = 5 × 5n - 2 ×2n
c-à-d 5n + 1 - 2n + 1 = 5 × 5n - ( 5 - 3 ) ×2n
c-à-d 5n + 1 - 2n + 1 = 5 × 5n - 5 × 2n + 3