INFO EX 3 DV 2 TS 05/ 10/12

                          INFO EXERCICE 3  DV n° 2     TS         Pour le vendredi 5 octobre 2012   

       EXERCICE 3  

                  Soit la suite récurrente  ( u n ) définie sur IN par:

                       u 0   = 5

                       u n + 1  = √(  u n +12 )     pour tout n dans IN   

                     1. Montrer que la suite ( un ) est minorée par 4  sur IN .

                    2. Etablir son sens de variation.

                    3. La suite ( un ) est-elle convergente ? divergente ? 

                    4.Etablir que pour tout entier naturel n :

                          un + 1 - 4 ≤  ( 1 / 8 ) ( un - 4 )

                   5. Démontrer que pour tout entier naturel n :

                           0 ≤ un - 4 ≤  1 / 8n     

                   6. Déterminer la limite de la suite ( un ) .

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    REPONSE:

     1.  1. Montrons que la suite ( un ) est minorée par 4  sur IN .

         Faisons une récurrence sur IN.

          pour établir que   4 ≤ un  pour tout n dans IN.

              • n = 0

                  On a:      u0  =  5    

                         Or       4 ≤ 5

                         D'où     4 ≤ u0   

             Ainsi    4 ≤ un   est vrai pour n = 0

             • Soit n un entier naturel quelconque.

                Montrons que si     4 ≤ un    alors    4 ≤ un + 1   

                Considérons   4 ≤ un  

                 Soit la fonction f : x → √( x + 12 ) sur IR+  .

                Comme la fonction affine x → x + 12 est définie ,

               dérivable et strictement positivedans IR+  la fonction f

               est définie et dérivable dans IR+  .

                On a :        f ' : x →   1 / ( 2√( x + 12 )  )

                Comme    1 / ( 2√( x + 12 )  ) > 0 pour tout réel positif x

                  on  a    f ' > 0 sur l'intervalle [ 0 ,  +∞ [ .

                Donc la fonction f est croissante sur IR+ .

                L'inégalité considérée    4 ≤ un     entraîne 

                    f ( 4 )  ≤   f( un  )

                   Mais  f( 4 ) = √ 16 = 4    et   un + 1  =  f( un  )

                  On obtient en reportant    4 ≤ un  + 1   

        Conclusion:

         Il est avéré que la suite ( un  ) est minorée par  4 sur IN.

     2. Etablissons son sens de variation.

     On ne peut pas dire que,  f étant croissante alors  la suite ( un  )  l'est aussi.

         Pour connaître la tendance calculons u1  .

                u1   =√ ( 5 + 12 ) = √17         √17 ≈ 4, 12

              comme u0 = 5    on constate que u1 < u0   .

        On peut conjecturer que la suite est décroissante sur IN.

        Prouvons le par récurrence sur IN .

         Montrons que un + 1  ≤  un   pour tout n dans IN

     • n = 0

                On vient de voir que u1 < u0   .

       Donc l'inégalité    un + 1  ≤  un    est vraie pour n = 0

    • Soit n quelconque dans IN.

      Montrons que si    un + 1  ≤  un     alors  un + 2   ≤  un + 1    .

    Concidérons  4 ≤   un + 1  ≤  un     

         Comme la fonction f est croissante sur IR+  

     on a  :       f (un + 1  )  ≤  f ( un   ) 

      c-à-d        un + 2   ≤  un + 1  

      Conclusion: La suite est bien décroissante.

    3.  Regardons si la suite ( un ) est convergente ou divergente ? 

      Elle est décroissante sur IN et minorée par 4 sur IN.

      Donc :

      Conclusion : La suite ( un ) est convergente.

    4. Etablissons  que pour tout entier naturel n :

                          un + 1 - 4 ≤  ( 1 / 8 ) ( un - 4 )

        On a:

              un + 1 - 4 = √(  un   + 12 ) -  4

     c-à-d     en multipliant et en divisant par l'expression conjugué

            inegalite279-1.gif

               redac.gif

                  inegalite-demandee.gif 

 

     Conclusion : l'inégalité est prouvée.

     5. Démontrons que pour tout entier naturel n :

                           0 ≤ un - 4 ≤  1 / 8n     

       Faisons une récurrence sur IN.

             debut-de-rec.gif      

       findequestion.gif 

          6. Déterminer la limite de la suite ( un ) .

            limitedesuite.gif

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