INFO EX 3 Feuille d'exercices sur les suites sept 2012 TS
EXERCICE 3 Fait en classe le 10 sept 2012
Soit la suite récurrente ( un ) définie par :
u0 = 0,64
un + 1 = 1 + 2 √ un pour tout n dans IN
On admet que cette suite est à termes positifs.
Etablir par récurrence que un+1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
Qu'en déduisez-vous?
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REPONSE:
Faisons une récurrence sur IN
• n = 0
On a u0 = 0,64
et u1 = 1 + 2 √ 0,64 = 1 + 2 × 0,8 = 2,6
Donc u1 - u0 = 2, 6 - 0,64 = 1,96
Or 1, 96 ≥ 0
Donc u1 - u0 ≥ 0
L'inégalité est vraie pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un+1 - un ≥ 0 alors un+2 - un+1 ≥ 0 .
Considérons un+1 - un ≥ 0
c-à-d un+1 ≥ un
Comme la suite est à termes positifs ( admis ) et que la fonction √
est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ on a :
√ un+1 ≥ √ un
Donc 2 √ un+1 ≥ 2 √ un
puis 1 + 2 √ un+1 ≥ 1 + 2 √ un
c-à-d un+2 -≥ un+1
c-à-d un+2 - un+1 ≥ 0
Conclusion : L'inégalité est prouvée dans IN
On en déduit que la suite ( u ) est croissante sur IN.