INFO EX 3 FEUILLE d'exercices sur les suites TS sept 2012
EXERCICE 3
Soit la suite ( un ) définie sur IN* ,de terme général :
un = 1 + ( 1 / 2 )2 + ( 1 / 3 )2 + ...+ ( 1 / n )2 pour tout n dans IN*
1. Donner le sens de variation de cette suite .
2. Etablir que :
( 1/ k )2 ≤ 1 / ( k - 1 ) - 1 / k pour tout entier k ≥ 2.
3. En déduire que :
un ≤ 2 - ( 1/n ) pour tout entier n ≥ 2.
4. La suite ( un ) est-elle majorée ?
Converge-t-elle ?
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Réponse :
1. Donnons le sens de variation de la suite ( un ).
Soit n dans IN* quelconque.
un = 1 + ( 1 / 2 )2 + ( 1 / 3 )2 + ...+ ( 1 / n )2
un + 1 = 1 + ( 1 / 2 )2 + ( 1 / 3 )2 + ...+ ( 1 / n )2 + ( 1 / (n + 1) )2
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Par soustraction: un + 1 - un = ( 1 / (n + 1) )2
Or ( 1 / (n + 1) )2 > 0
Donc un + 1 - un > 0 pour tout n dans IN*
Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN*
2. Etablissons que :
( 1/ k )2 ≤ 1 / ( k - 1 ) - 1 / k pour tout entier k ≥ 2.
Soit k un entier quelconque tel que k ≥ 2.
On a : 1 / ( k - 1 ) - 1 / k = ( k - ( k - 1 ) ) / ( ( k - 1 ) k )
c-à-d 1 / ( k - 1 ) - 1 / k = 1 / ( k2 - k )
De plus ( 1/ k )2 = 1 / k2
Comparons les dénominateurs k2 et k 2- k sachant k ≥ 2.
Ils sont tous les deux strictement positifs.
On a : 0 < k2 - k ≤ k2
Donc pour les inverses on a :
1 / k2 ≤ 1 / ( k2 - k )
Ainsi on a bien : ( 1/ k )2 ≤ 1 / ( k - 1 ) - 1 / k
pour tout entier tel que k ≥ 2
Conclusion: le résultat est avéré
3. Déduisons que :
un ≤ 2 - ( 1 / n ) pour tout entier n ≥ 2.
Soit n un entier quelconque tel que n ≥ 2.
On a en utilisant l'inégalité établie dans la question précédente:
1 ≤ 1
( 1 / 2 )2 ≤ 1 / 1 - 1 / 2
( 1 / 3 )2 ≤ 1/ 2 - 1 / 3
( 1 / 4 )2 ≤ 1 / 3 - 1 / 4
... ≤ 1 / 4 - .....
.................................
... ≤ ......... - 1 / ( n - 1 )
( 1 / n )2 ≤ 1 /( n - 1 ) - 1 / n
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Sommons : un ≤ 2 - 1 / n pour tout entier n ≥ 2
Conclusion : Le résultat est avéré
4. •Regardons si la suite est majorée.
On a : 1 / n > 0 pour tout entier ≥ 2
Donc on a : 2 - 1 / n ≤ 2 pour tout entier n ≥ 2
On a : un ≤ 2 - 1 / n pour tout entier n ≥ 2
Donc un ≤ 2 pour tout entier n ≥ 2
Conclusion : OUI . La suite est majorée par 2 à partir du rang 2.
• Regardons si la suite converge.
Comme la suite est croissante et majorée sur les entiers à partir du rang 2
elle converge.
Conclusion : La suite est convergente
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