INFO EX 4 Feuille d'exercices Suites TS sept 2012
EXERCICE 4
Soit la suite récurrente ( un ) définie par :
u0 = 1
un + 1 = - 0,8 un + 2 pour tout n dans IN
Etablir par récurrence que :
1 ≤ un ≤ 1,2 pour tout n dans IN.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse :
Faisons une récurrence sur IN.
•n = 0
On a : u0 = 1
Or 1 ≤ 1 ≤ 1,2
Donc 1 ≤ un ≤ 1,2 pour n = 0
• Soit n dans quelconque.
Montrons que si 1 ≤ un ≤ 1,2 alors 1 ≤ un + 1 ≤ 1,2
Considérons 1 ≤ un ≤ 1,2
Multiplions par - 0,8 chaque membre. ( Attention - 0,8 est négatif. )
Ainsi - 0,8 × 1 ≥ - 0,8 × un ≥ - 0 ,8 ×1,2
c-à-d - 0,8 ≥ - 0,8 × un ≥ - 0,96
Ajoutons 2 à chaque membre
Il vient - 0,8 + 2 ≥ - 0,8 × un + 2 ≥ - 0,96 + 2
c-à-d 1, 2 ≥ un + 1 ≥ 1,04
c-à-d 1,04 ≤