INFO EX 5 Feuille d'ex sur les suites Sept. 2012 TS
EXERCICE 5
Fait en classe le mardi 11 sept 2012
Soit ( un ) la suite définie par :
un = ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 ) pour tout n dans IN
1. Trouver deux réels a et b tels que
un = a + b / ( 2 n - 9 ) pour tout n dans IN
2. Donner son sens de variation sur [[ 5 , + ∞ [
c-à-d sur les entiers supérieurs ou égaux à 5.
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REPONSE Commencé en classe le 10 sept 2012
1. Trouvons les réels a et b.
•Première méthode.
Soit n dans IN quelconque.
On a : un = ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 )
c-à-d un = ( 4 n - 18 + 18 - 1 ) / ( 2 n - 9 )
c-à-d un = ( 4 n - 18 + 17 ) / ( 2 n - 9 )
c-à-d un = ( 2 ( 2 n - 9 ) + 17 ) / ( 2 n - 9 )
c-à-d un = 2 + 17 / ( 2 n - 9 )
Conclusion : a = 2 et b = 17
•Seconde méthode : La division
| 4 n - 1 | | 2 n - 9 |
| - ( 4 n - 18) | | 2 |
| 17 | | |
| | | |
| | |
Donc 4 n - 1 = 2 ( 2 n - 9 ) + 17
c-à-d ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 ) = 2 + 17 / ( 2n - 9 ) pour tout n dans IN
c-à-d un = 2 + 17 / ( 2n - 9 ) pour tout n dans IN
Conclusion : a = 2 et b = 17
2. Donnons le sens de variation de la suite ( un ) à partir du rang 5.
Soit la fonction f : x → 2 + 17 / ( 2x - 9 ) associée à la suite
f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur IR - { 9 / 2} .
On peut utiliser la formule ( 1 / u ) ' = - u ' / u2
avec u : x → 2 x - 9 et u' : x → 2
f = 2 + 17 ( 1 / u ) sur IR - { 9 / 2}
Il vient :
f ' : x → 17 ( - 2 / ( 2x - 9 )2 )
c-à-d
f ' : x → - 34 / ( 2x - 9 )2
Pour tout x dans IR - { 9 / 2} , f'(x ) est du signe de - 34.
Donc f ' < 0 sur IR - { 9 / 2}
f est donc décroissante sur les intervalles de IR - { 9 / 2}.
[[ 5 , + ∞ [ est inclus dans ] 4,5 ; + ∞ [
La restriction de f à [[ 5, + ∞ [ est donc décroissante.
Conclusion : La suite ( un ) est donc décroissante bien à partir du rang 5.
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