INFO EX de bac 2014

                   INFO EX        bac S  juin 2014   ANTILLES-GUYANE    

                 Soit la suite numérique ( un ) définie sur l'ensemble des entiers

                 naturels IN par :

                    1m     

  1.a. Recopier et, à l'aide d'une calcuatrice, compléter le tableau des valeurs

        de la suite ( un ), approchées à 10- 2  près:

n 0   1   2   3   4   5   6   7   8 
un 2  3,4 2,18  1,19  0,61  0,31  0,16  0,08  0,04 

     b. D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suitte (un ).

                         La question est peu habituelle pour une suite non monotone sur IN.

                         Elle semble décroissante à partir du rang 1.                       

    2.a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul, on a:

             7m

              •  n = 1

                        Comme 

                           2m 2  

                       On a :

                     4m

                              u1 ≈ 3,4   déjà vu dans le tableau

                     Or

                           6m 1   

                           15 / 8  ≈ 1,88 

                                 3 , 4 ≥    1,88

                         L'inégalité est vraie pour n = 1

               • Soit n dans IN*  quelconque.

                       Montrons que si    

                   7m

                             alors  

                  8m

                 Considérons  

                          7m

                 Multiplions par 1 / 5 chaque membre

                9m

                        Ajoutons 3 × 0,5n   à chaque membre 

               10m

               En divisant par 2 le membre positif de droite

              on obtient:

                 8m        

                ( rappel   1 / 2 = 0, 5   )

         Conclusion: L'inégalité est vérifiée sur IN*

    b. En déduire que , pour tout entier naturel n  non nul  un + 1 -  un ≤ 0.

                 Soit n dans IN*.

                 On a :

                         2m 2

               Retranchons un à chaque membre.

               Il vient :

                      11m

               Mais

                       7m

                  donne en multipliant par  4 / 5

                     14 1

              Donc       

                      12m  

                      pour tout n dans IN*

         Conclusion:  sur IN*  la suite ( un ) est décroissante.

      c. Démontrer que a suite ( un ) est convergente..

                       Comme  pour tout n dans IN*

                                7m

                     on a     un ≥ 0       pour tout n dans IN*

                     De plus elle est décroissante.

     Conclusion: La suite ( un ) étant minorée et décroissante sur IN* , converge. 

     3. On se propose dans cette question de

            déterminer la limite de la suite( un ).

        Soit ( vn ) la suite définie sur IN par :        

                              15m 1

      a. Montrer que la suite ( vn  ) est géométrique de raison 1 / 5. 

                On précisera le premier terme de la suite ( vn ).

          Soit n dans IN.

          On a :

                       16m

              Or      

                            2m 2       

         Donc

              18m

                Mais  

                        21m   

                 D'où     

                19m 1

                         Ainsi  :

                        24m

                pour tout n dans IN

           Concusion :  La suite (  vn )  est bien géométrique de raison 1 / 5.

                          28m

   b. Déduisons,que pour tout entier naturel n:

                     31m

                  Soit n un entier naturel queconque.

                       30m

               Conclusion: Le résultat est prouvé.

    c. Déterminer la limite de la suite ( un ).

                      Comme  - 1 < 0 , 5 < 1     

                        c-à-d       - 1 < 1 / 2 < 1

                      on a :

                       35m

--------------------------------------------------------------------------------

    4.  Recopier et compléter les lignes ( 1 ) , ( 2 ) et ( 3 ) de l'algorithme suivant

        afin qu'il affiche la plus petite valeur de n telle que un ≤ 0,01  .

 Entrée:   n et u sont des nombres

 Initialisation:     n prend la valeur 0 

                          u prend la valeur 2

 Traitement:  

            Tant que ........  u > 0,01                                                         Ligne 1

                      n prend la valeur .......  n + 1                                        Ligne 2

                      u prend la valeur ........ - 0,8 × (1 / 5 )n   + 10 × 0,5n           Ligne 3

             Fin de Tant que

 Sortie:              Afficher n

 -----------------------------------------------------------------------------