INFO EX 1 FEUILLE 3 d'ex sur les suites Sept. 2012 TS

                INFO EX1 FEUILLE 3   d'exercices sur les  suites       TS     sept .2012

 

      EXERCICE 1

                    Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :

                               u0 = 0

                              un + 1 = ( un  )2 + 1   pour tout n dans IN 

            1. Montrer qu'à partir du rang 4  on a  un  ≥  2n  .

            2. Cette suite est-elle convergente?

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    Réponse:

               1.  Montrons que :

                                 inegalite-927.gif

                   Faisons une récurrence sur [[ 4 , + ∞ [.

         • n = 4

                Calculons  u4 .

                On a :         u0  = 0

                Puis de proche en proche:

                                  u1 =  ( u0  )2 + 1 = 0 +1 = 1

                                  u2 =  ( u1  )2 + 1 = 1 + 1 = 2

                                  u3  =  ( u2  )2 + 1 = 4 + 1 = 5  

                Enfin         u4  =  ( u3  )2 + 1 = 25 + 1 = 26  

                 De plus           24  = 16

                 Or   26  ≥ 16

                 Ainsi          un  ≥  2n    est bien vrai pour n = 4    

                • Soit n un entier quelconque tel que n  ≥  4.

                      Montrons que si un  ≥  2n   alors  un+1  ≥  2n+1  .

                   Considérons :

                          un  ≥  2n  

                Donc      (  un  )2  ≥ (  2n  )2        sachant que la fonction x → x2  est

                                                           croissante sur les réels positifs

               c-à-d        (  un  )2  + 1   ≥     2n  × 2n    + 1

               Donc           un+1    ≥    2n  × 2n                    (1)

             Mais   comme n ≥ 4  on a    2n     ≥  21      

              Ainsi     2n  × 2n     ≥   2n  × 21     

              c-à-d       2n  × 2n     ≥   2n +1                      ( 2 ) 

           ( 1 ) et (  2 )  entraînent par " transitivité de la relation d'ordre ≤  "

                                      un+1    ≥    2n +1      

          Conclusion : L'inégalité est prouvée sur [[ 4 , + ∞ [.

       2. Regardons si la suite converge.

          Comme 2 > 1   on a :                             lim  2n    = +∞

                                                                       n →  +∞

         Or   pour tout entier n tel que n ≥ 4  on a:      un    ≥    2n   

         Donc , d'après un résultat de cours , lim un  = +∞

                                                                    n →  +∞

                          Conclusion : La suite diverge vers + ∞ 

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