Leçon n°1 TS INFO ACTIVITE

                                           Leçon 1:   INTRODUCTION : LOGIQUE, SUITES, LIMITES           TS      Sept. 2012 

               INFO ACTIVITE 

                 Exemple d'algorithme.

                   Considérer la variable a = 1.

                   Diviser 7 par a puis ajouter a et multiplier le tout par 1/2.

                   Considérer pour a le résultat ainsi obtenu.

                   Recommencer le processus ainsi de suite.

                  1. Trouver les trois premières valeurs de a.

                 a = 1           Donc   0,5 × ( a + 7 / a ) = 8 / 2 = 4 

 Puis         a = 4           Donc    0,5 × ( 4 + 7 / 4 ) = 0,5 × ( 23 / 4 ) = 23 / 8 ≈ 2,875

 Ensuite    a = 23 / 8     Donc     0,5 ×( 23 / 8   + 7 ×( 8 / 23 ) ) = 0,5 ×( 977/ 184 ) = 977/ 368 ≈ 2,6548

                  2. Comparer ces valeurs et la racine carrée de 7.

                                On a :  √7  ≈ 2,6457

                                Le processus donne une excellente valeur approchée.                     

                  3.  Soit la suite récurrente ( u_n ) définie sur IN, des valeurs successives de a.

                      Que vaut   u₀ ?

                        On a :   u₀   = 1 

                      Quelle relation de récurence a-t-on entre u_{n + 1}  et  u_n   pour tout n dans IN ?

                       On a :     u_{n + 1}  = 0,5 × (  u_n  +  7 / u_n   )   pour tout n dans IN

                      Programmer sur votre calculatrice, si vous l'avez, cette suite numérique.   

                             On a  à l'écran de la TI 84:  

                       Appuyer sur        MODE 

                                  •  Mettre à la 4 ième ligne le curseur sur SEQ 

                                  • Mettre à la 6 ième ligne le curseur sur SEQUENTIEL

                      Appuyer sur  Y =  

                      Faire en sorte d'avoir à l'écran:

                           Plot1    Plot2   Plot3

                               nMin = 0

                         ^·..  u(n) = 0.5*( u(n-1 )+7/u( n-1 ) )    

                         u( nMin ) = {1} 

                         • Considérer      2nd   WINDOW

                           Il faut avoir à l'écran:

                                       TABLE SETUP

                                           TblStart=0

                                         Δ  Tbl = 1

                                        Indpnt:     Auto     Ask

                                        Depend:   Auto     Ask

                          Avec    2nd       GRAPH

                         On obtient le tableau:

                           Retrouver à l'aide de la calculatrice  u₁  , u₂  , u₃  les valeurs successives de a.

                           Les quatre valeurs sont bien celles de l'algorithme            

                          Quelle conjecture sur le sens de variation de la suite ( u_n ) pouvez vous faire?

                           La suite ( u_n ) semble décroissante sur IN*  c-à-d   à partir du rang 1.

                      Peut-on conjecturer que cette suite est à termes positifs ? négatifs ? quelconques?

                        La suite ( u_n ) semble à termes strictement positifs sur IN.

                 4.  Indiquer la fonction numérique f  telle que:     u_{n + 1} = f( u_n )  pour tout n dans IN.

                        La fonction f est :    f : x → 0,5 ×( x + 7 / x )

                        car on a bien :        u_{n + 1} = f( u_n )  pour tout n dans IN.  

                      Préciser le domaine de définition et de dérivabilité de f.

                        f est une fonction rationnelle définie dans IR*. 

                       Elle y est donc également dérivable.

                      Trouver sa fonction dérivée notée f '.

                        Directement on obtient :   f ' : x  → 0,5 ×( 1 -  7 / x² )   sur IR*

                      Quelle est le sens de variation de la fonction f  ?

                       Pour cela donnons le signe de f ' .

                       Soit x un réel non nul.

                       On a :     f '( x ) = 0,5 ( x² -  (√7 )²  ) / x²

                       f ' ( x ) est donc du signe de x² -  (√7 )²    pour tout x dans IR*.

                      Il s'agit d'un trinôme du second degré dont les racines sont - √7 et √7 .

                     On peut donc donnerdirectement  le signe de f '(x ).

                5.  Utilisation d'une récurrence.                                         

                    a. Etablir, par récurrence sur IN, que la suite ( u_n ) est à termes positifs strictement sur IN.

                           •n = 0 

                                u₀ = 1      

                                Or   1 > 0  

                                Donc       u₀  > 0   est vrai.

                           •Soit n dans IN quelconque.

                             Montrons que si  u_n  > 0 alors   u_{n + 1}  > 0 .

                             Comme u_n  > 0    on a    0,5 ( u_n + 7 / u_n ) > 0

                                                        c-à-d                     u_{n + 1}  > 0 .

                          Conclusion :   u_n  > 0    pour tout n dans IN

                    b. Etablir, par récurrence sur IN*, et à l'aide du sens de variation de f

                         que u_n  ≥ √7  pour tout n dans IN*.                       

                         • n = 1 

                               u₁  = 4      Mais  4   ≥ √7    Donc   u₁   ≥  √7    est vrai.                        

                         •Soit n dans IN* quelconque.

                             Supposons que u_n   ≥ √7   .  Montrons que  u_{n + 1}   ≥ √7   .

                           On a :      u_n  ≥ √7  

                           Mais  comme f ' ≥ 0  sur  [√7  , +∞ [

                           f  croissante sur [√7  , +∞ [

                           D'où :

                                        f(  u_n  ) ≥  f( √7 )   

                          c-à-d      u_{n + 1}    ≥  f( √7 )

                           or   f(  √7 ) = 0,5 (  √7  + 7 /  √7 ) =  √7 

                                Ainsi   u_{n + 1}    ≥  √7 

                      Conclusion :    On a   u _n   ≥ √7   pour tout n dans IN* 

                 6. Suite minorée, majorée bornée.                      

                          Notre suite ( u_n ) ici est-elle minorée?  majorée? bornée ? sur IN .

                            Comme il existe √7   tel que  u_n   ≥ √7   pour tout n dans IN*

                           elle est minorée par  √7  sur IN*.    Son premier terme est  1.