Leçon n°1 TS SEPT 2012

                      TS             Leçon 1:   INTRODUCTION : LOGIQUE, SUITES, LIMITES 

               ACTIVITE

                 Exemple d'algorithme.

                   Considérer la variable a = 1.

                   Diviser 7 par a puis ajouter a et multiplier le tout par 1/2.

                   Considérer pour a le résultat ainsi obtenu.

                   Recommencer le processus ainsi de suite.

                       Avec   ALGOBOX:

                  1. Trouver les trois premières valeurs de a.

                  2. Comparer ces valeurs et la racine carrée de 7.

                          Comme vous le voyez:

                       " Un algorithme est un enchaînement

                      d'instructions à effectuer dans un certain ordre et dont la 

                      réalisation permet la réalisation d'un problème donné."

                  3. On souhaite utiliser la notion de suite numérique pour 

                      décrire les valeurs successives de a.

                      Soit la suite récurrente ( u_n ) définie sur IN, des valeurs successives de a.

                      Que vaut   u₀ ?

                      Quelle relation de récurence a-t-on entre u_{n + 1}  et  u_n   pour tout n dans IN ?

                      Programmer sur votre calculatrice, si vous l'avez, cette suite numérique.                            

                      Retrouver à l'aide de la calculatrice  u₁  , u₂  , u₃  les valeurs successives de a.

                      Quelle conjecture sur le sens de variation de la suite ( u_n ) pouvez vous faire?

                      Peut-on conjecturer que cette suite est à termes positifs ? négatifs ? quelconques?

                 4.  Indiquer la fonction numérique f  telle que:     u_{n + 1} = f( u_n )  pour tout n dans IN.

                      Préciser le domaine de définition et de dérivabilité de f.

                      Trouver sa fonction dérivée notée f '.

                      Quel est le sens de variation de la fonction f  ?

                  5.  Utilisation d'une récurrence. 

                       Soit P_n   une propriété ( égalité, inégalité, formule... ) définie sur IN.

                      (  Dès que n est fixé dans IN, on doit, sans ambiguïté, pouvoir dire si

                          P_n est vraie ou bien est fausse. )

                       Si l'on peut établir les deux affirmations suivantes alors P_n est prouvée sur IN.

                              #  P₀ est vraie.      ( Amorce ou initialisation)

                              #   Pour tout n dans IN ,

                                   si P_n est vraie alors P_{n + 1} est vraie.            ( Hérédité ou transmission )

                    ( Penser à des dominos placés verticalement de façon que le premier domino en versant

                      entraîne la chute du second et chaque fois que l'on bascule un quelconque domino cela 

                      entraîne la chute du suivant .) Il arrive que la récurrence commence à n =1 au lieu de n = 0.

                    a. Etablir, par récurrence sur IN, que la suite ( u_n ) est à termes positifs strictement sur IN.

                    b. Etablir, par récurrence sur IN*, et à l'aide du sens de variation de f

                       que u_n est supérieur  ou égal à √7  pour tout n dans IN*.

                 6. Suite minorée, majorée bornée.

                           Soit la suite ( v_n ) définie sur IN.

               ( v_n ) est minorée sur IN ssi il existe un réel m tel que  m =<  v_n    pour tout n dans IN. 

                ( v_n ) est majorée sur IN ssi il existe un réel M tel que   v_n =< M     pour tout n dans IN.   

              ( v_n ) est bornée sur IN ssi elle est minorée et majorée sur IN

                          Notre suite ( u_n ) ici est-elle minorée sur IN ?

                   7.  En déduire le signe de la différence  u_n+1 - u_n    pour tout n dans IN*.

                        Quel est donc le sens de variation de notre suite ( u_n ) sur IN*?

                  8. Convergence. Divergence.

                          Soit la suite ( v_n ) définie sur IN.

                      La suite ( v_n ) converge quand il existe un réel  L tel que:     

                      Tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite  ( v_n ) 

                      à partir d'un certain rang.                     

                      On écrit  alors que la suite ( v_n )  est de limite L et on le note

                       lim  v_n  = L

                      n → + ∞

                     ( Penser à un joueur de basket qui peut dire :

                      Quel que soit le diamètre du panier qu'on m'impose je peux trouver une position 

                     d'où je peux envoyer tous les ballons dans le panier. )

                 Par l'absurde on démontre l'unicité du réel L .

                         On suppose l'existence de deux réels L et L' tels que L < L'

                        qui respectent la condition.

                        On aboutit à une contradiction.

                        Il est possible en effet de prendre deux intervalles ouverts disjoints

                         I contenant L et I' contenant L' .

                         Il est possible de prendre un indice à partir duquel 

                         tous les termes de la suite sont dans I et dans I ' .

                         Ce qui est impossible car I et I' sont disjoints.

                    La suite ( v_n ) diverge quand elle ne converge pas.

                   Trois cas de divergence sont possibles pour une suite:

                              #  Le terme général peut prendre des valeurs aussi grandes

                                ( respectivement petites ) que l'on veut

                                à condition de prendre un indice assez grand.

                               C'est le cas par exemple de la suite de terme genéral  v_n = n²  

                               ( respectivement  v_n = - n²   )

                              #  Le terme général n'évolue pas de façon" cohérente. "

                                 C'est le cas par exemple de la suite de terme genéral  v_n = ( - 1 )ⁿ 

                Le théorème suivant est admis dans le programme: 

                Toute suite décroissante et minorée converge.

                Toute suite croissante et majorée converge.

                     Notre suite ( u_n ) ici est-elle convergente ?divergente ?

               9. Suite récurrente convergente.

                   Soit la suite récurrente ( v_n ) définie dans IN par :

                     v₀ = b                     où b est un réel

                     v_{n + 1} = g( v_n )   pour tout n dans IN

                    Soit   lim v_n = L           où L est un réel 

                            n → +∞

                   Si   g( x ) tend vers g(L ) quand x tend vers L

                   (  On dit que g est continue en L )

                    alors    la relation   v_{n + 1} = g( v_n )  qui est vraie pour n très grand 

                   permet  de dire  L = g( L ).

                    Cela permet souvent de trouver L .    

                   Pour notre suite ( u_n ) que dire de sa limite L?

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