LES R.O.C 3 sur les suites

                              LES DEMONSTRATIONS  pouvant faire l'objet d'un R.O.C.       TS     sept 2012

    ≡ Résultat ≡ 

             Soit une suite convergente ( un ) définie sur

              entier-sup-a-n0.gif  

              où n0 est un entier naturel.

                             Alors 

             Sa limite finie est unique.

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    Démonstration :

        INFORMATION:  

               IR est "dense" . C'est-à-dire qu'entre deux réels distincts on peut en trouver un autre.

               Si L et L'  sont deux réels distincts alors on peut trouver un réel entre L et L'

               strictement. Cela permet d'isoler L et L' dans deux intervalles ouverts disjoints.

              Raisonnons par l'absurde.

                                 Supposons que la suite admette les réels distincts L et L' 

                                  comme limites.                                                                                    ( 1 )

                                 Montrons qu'on aboutit à une contradiction.

               Soit I un intervalle ouvert qui contient L et J un intervalle ouvert qui contient L'

                 avec I ∩J = Ø .

                 ( 1 ) entraîne que:

               •  Il existe un entier n' ≥ n0   tel que pour tout entier n ≥ n' on aît  un   dans I.

               •  Il existe un entier n'' ≥ n0   tel que  pour tout entier n ≥ n''   on aît   un    dans J .

                      Soit p = sup( n ' , n '' )

               On peut dire  que pour tout entier n ≥ p  on a  un   dans I U J.

              C'est en contradiction avec   I ∩J = Ø .

            Conclusion: Le résultat est avéré         

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     ≡ Résultat ≡ 

           Inégalité de Bernoulli

               Soit x un nombre réel positif ( x peut être nul mais c'est moins intéressant ).

              Soit n un entier naturel.

                                 Alors

                      ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x          

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     Démonstration :  

                 C'est une simple récurrence sur IN , x étant fixé dans IR+ .

             •  n = 0

                  On a :   ( 1 + x )n    = ( 1 + x )0 = 1

                        et     1 + n x = 1 + 0 = 1

                  Donc   l'inégalité    ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x   est vraie pour n = 0

            • Soit n dans IN quelconque.

           Montrons que si  ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x    alors   ( 1 + x )n + 1  ≥ 1 + ( n+ 1 ) x   .

                  Considérons :

                    ( 1 + x )n  ≥ 1 + n x

           Comme  1 + x > 0 on déduit en multipliant chaque membre par 1 + x :

                      ( 1 + x )n  ×  ( 1 + x )  ≥ ( 1 + n x ) ×( 1 + x )

             c-à-d      

                       ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +nx + x + n x2

             c-à-d 

              ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +( n + 1 ) x + n x2

           Comme   n x2  ≥ 0   on en déduite que 

                ( 1 + x )n + 1   ≥  1 +( n + 1 ) x + n x2  ≥ 1 + ( n + 1 ) x

          puis :    ( 1 + x )n + 1   ≥ 1 + ( n + 1 ) x

                Conclusion : Le résultat est avéré.

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