LES DEMONSTRATIONS pouvant faire l'objet d'un R.O.C. TS sept 2012
≡ Résultat ≡
Soit deux suites ( un ) et ( vn ) définies à partir du rang n0 .
Il existe un entier q ≥ n0 tel que pour tout entier n ≥ q on ait un ≤ vn .
Soit lim un = + ∞
n→ + ∞
Alors
lim vn = + ∞
n→ + ∞
----------------------------------------------------------------------------
Démonstration:
• Comme la suite ( un ) diverge vers +∞ on a :
Soit un intervalle ouvert de la forme ] A , +∞[ quelconque.
Il existe un entier naturel n ' ≥ n0 tel que si l'entier n ≥ n' alors un dans ] A , +∞[.
• Considérons n'' = sup( q , n ' )
Pour tout entier n tel que n ≥ n '' on a A < un ≤ vn
• Ainsi :
Soit un intervalle ouvert de la forme ] A , +∞[ quelconque.
Il existe un entier naturel n '' ≥ n0 tel que si l'entier n ≥ n'' alors vn dans ] A , +∞[.
Ce qui signifie que la suite ( vn ) diverge vers +∞.
Conclusion : Le résultat est avéré.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
≡ Résultat ≡
Soit q un nombre réel tel que q > 1.
Alors
La suite de terme général qn définie sur IN
diverge vers +∞
---------------------------------------------------------------------------------
Démonstration:
• Comme q >1 il existe un réel x > 0 tel que q = 1 + x.
• Soit n dans IN* quelconque.
L'inégalité de Bernoulli s'écrit :
( 1 + x )n ≥ 1 + n x
c-à-d qn ≥ 1 + n x ( 1 )
• Mais lim ( n x ) = + ∞ ( 2 )
n → + ∞
• ( 1 ) et ( 2 ) entraînent lim qn = + ∞
n → + ∞