FEUILLE 1 D'EX. V.A. CONTINUES

                              EXERCICE SUR LES V.A.R  CONTINUES   TS    AVRIL 2013

      Remarque:  Pour les v.a.r discrètes ( donc non continues ) de loi binomiale

                            de type B(n;p) voir sur le site:

           http://www.mathemaths.com/pages/probabilites/exercice-1es-sur-loi-binomiale.html

      EXERCICE 1 

                 Soit T une variable aléatoire continue sur [ 0  , + ∞ [ qui indique la durée de vie

                 en minutes d'un feu d'artifice annuel d'une petite ville.

                 On admet que la durée de vie moyenne du feu d'artifice est 3 minutes.

                 On admet que T est de loi exponentielle de paramètre λ > 0

                 c'est-à-dire que la loi de probabilité de T est une fonction f de la forme :

                                 f : t → λ e- λ t

                   1. Trouver λ.

                   2. Préciser alors sa fonction f densité de probabilité.

                   3. Quelle est la probabilité que le feu d'artifice dure entre 

                          1 minute et 2 minutes ?

                  4. Quelle est la probabilité que le feu d'artifice dure au

                      moins 5 minutes?

                  5. Sachant que le feu d'artifice a déjà commencé depuis 3 minutes

                      quelle est la probabilité qu'il dure finalement plus 5 minutes.

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      REPONSE:

     1. Recherche de λ > 0.

          L'espérance de T est :               E( T ) = 1 / λ

          Comme la durée moyenne du feu d'artifice est 3 minutes

          on a  E(T ) = 3

          Ainsi:     3 = 1 / λ

          c-à-d     λ = 1 / 3

             Conclusion:   Le paramètre est  λ = 1  / 3 

      2. Précisons la fonction f densité de probabilité.

           Il suffit de remplacer λ par 1 / 3  dans 

                    f : t → λ e- λ t

             Conclusion:     f : t →( 1 / 3 ) e- ( 1 / 3 ) t    

              info4.png

    3. Donnons la probabilité que le feu d'artifice dure entre 

          1 minute et 2 minutes ?

          Pour cela trouvons   P( 1≤ T  ≤ 2 )    

        (  Rappel:  P( 1≤ T  ≤ 2 ) =  P( 1 < T < 2 )  comme T est continue )

            On a d'après le cours on peut directement affirmer:

              P( 1  ≤ T  ≤  2  )   =    e- (1 / 3 )× 1      -   e- ( 1 / 3 )×   2  

              c-à-d 

             P( 1 ≤ T  ≤ 2 )   =    e- (1 / 3 )    -   e- ( 2 / 3 )    

             Ainsi :            P( 1 ≤ T  ≤ 2 )   ≈ 0,203   

               Conclusion:      P( 1 ≤ T  ≤ 2 )   =    e- (1 / 3 )    -   e- ( 2 / 3 )    

              info1.png

              info5.png

    4. Donnons la probabilité que le feu d'artifice dure au

          moins 5 minutes?

          Cherchons donc   P( T ≥ 5 ).

          ( Rappel:   P( T ≥ 5 ) = P( T > 5 )   )

          D'après le cours on peut directement affirmer:

                         P( T ≥ 5 ) =  e- ( 1 / 3 )× 5    =  e- ( 5 / 3 )  

             Ainsi:                  P( T ≥ 5 ) ≈   0,189

                 Conclusion:     P( T ≥ 5 ) =    e- ( 5 / 3 )    

            info2.png

      5.  Sachant que le feu d'artifice a déjà commencé depuis 3 minutes

          donnons la probabilité qu'il dure finalement plus 5 minutes.

               On veut :

                  info3.png

                                                  e- (2 / 3 ) ≈  0,513

                     Cela résulte du fait que T est une  "durée de vie sans vieillissement"

                     c-à-d  que les 3 minutes de feu d'artifice déjà écoulées n'ont aucune 

                    incidence sur la poursuite du feu d'artifice. Il n'y a pas "d'usure".

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     EXERCICE 2

            Aurélie téléphone tous les jours à sa copine avec son portable.

            La durée moyenne de la communication est 10 minutes.

            On note X la variable aléatoire continue qui indique la durée

            de la communication d'Aurélie.

             On admet que X est de loi exponentielle.

             Donner la probabilité que la durée de la communication d'Aurélie 

             soit comprise entre 10 mn et 15 mn.

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              REPONSE:

          • Déterminons d'abord le paramètre λ > 0 de la loi exponentielle.

            D'après l'énoncé  E( X ) = 10

            Or    E( X ) = 1 / λ

            Donc     1 / λ  =  10

            c-à-d                λ = 1 / 10 = 0,1

           • Donnons la fonction densité de probabilité:

                            f : t → λ  e- λ t

            c-à-d     f : t → 0,1   e - 0,1 t   

          • D'après le cours:  

                    P( 10  ≤ T ≤  15 ) =  e - 0,1×10    -   e - 0,1×15   

                 c-à-d 

            Conclusion:

                   P( 10  ≤ T ≤  15 ) =  e - 1   -   e - 1,5

                   P ( 10 ≤ T ≤ 15 ) ≈ 0,144

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