FEUILLE D'EXERCICES SUR LES V.A CONTINUES TS AVRIL 2013
EXERCICE 1
Soit X une variable aléatoire continue de loi normale centrée réduite.
Soit u un réel positif quelconque.
1. Pourquoi a-t-on P( - u ≤ X ≤ 0 ) = P( 0 ≤ X ≤ u ) ?
2. Montrer que:
P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 2 P( X ≥ u ) = 2 P( X ≤ u ) - 1
3. On sait que : E( X ) = ∫- ∞ + ∞ t φ( t ) dt
où φ : t → ( 1 / √( 2 π ) ) e- t² /2 IR.
Justifier que E( X ) = 0
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REPONSE: ( Faire avant la feuille n ° 3 d'exercices )
D'après l'énoncé:
X est une variable aléatoire continue de loi normale N( 0 ; 1 )
1. Montrons P( - u ≤ X ≤ 0 ) = P( 0 ≤ X ≤ u )
pour tout réel positif u .
Soit u ≥ 0.
La fonction densité de probabilité φ : t → ( 1 / √(2π) ) e - t ² / 2
de X est une fonction définie positive et continue sur IR.
De plus φ est paire. ( déjà vu dans la feuille n° 3 )
Donc :
On a l'aire sous la courbe de φ sur [ - u , 0 ]
qui est égale à l'aire sous la courbe de φ sur [ 0 , u ].
D'où:
Conclusion: P( - u ≤ X ≤ 0 ) = P( 0 ≤ X ≤ u )
pour tout réel positif u.
2. Montrons P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 2 P( X ≥ u ) = 2 P( X ≤ u ) - 1
pour tout réel positif u .
On a:
( X < - u ) U ( - u ≤ X ≤ u ) U ( u < X ) = Ω ( Ω l'univers des possibles )
Comme ( X < - u ) , ( - u ≤ X ≤ u ) , ( u < X ) sont incompatibles
deux à deux on a :
P ( X < - u ) + P( - u ≤ X ≤ u ) + P( u < X ) = 1
Donc P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - P( X < - u ) - P( u < X )
Or P( X < - u ) = P ( u < X )
Donc : P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 2 P( u < X ) = 1 - 2 P( u ≤ X )
• Ainsi on a déjà : P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 2 P( X ≥ u )
• Mais P( X ≥ u ) = 1 - P( X < u )
En reportant il vient :
P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 - 2 ( 1 - P( X < u ) )
c-à-d
P( - u ≤ X ≤ u ) = 2 P( X < u ) - 1
Donc
P( - u ≤ X ≤ u ) = 2 P( X ≤ u ) - 1
Conclusion : On a les deux égalités
Remarque: cette dernière égalité est souvent notée
P( - u ≤ X ≤ u ) = 2 ∏ (u ) - 1
Par exemple: