LISTE D'EXERCICES SUR LES VAR. OCT 08
EX.1 Soit T une v.a.r ( continue) de loi centrée réduite, c-à-d de loi N( 0 ; 1 )
Soit a un réel .
On sait que P( T < a ) = 0,7580.
par lecture en sens contraire de la table trouver le réel a.
REP. Par lecture de la table. A la ligne t = 0,7 la colonne 0,00 on lit 0,7580.
Donc P( T < a ) = 0,7580 pour a = 0,70
EX 2. Soit X une v.a.r ( continue de loi normale N( 0 ; 1 ).
Trouver P( - 0,75 < X < 0, 5 ).
REP. P( - 0,75 < X < 0,5 ) = ∏(0,5) - ∏( - 0,75 ) = ∏(0,5) - ( 1 - ∏( 0,75 )
P( - 0,75 < X < 0,5 ) =∏(0,5) - 1 + ∏( 0,75 )
Donc P( - 0,75 < X < 0,5 ) = 0,6915 - 1 + 0,7734 = 0,4649
P( - 0,75 < X < 0,5 ) = 0,4649
EX 3. Soit Y une v.a.r de loi normale N( 50; 4 ).
1. Y est-elle centrée réduite? ( Expliquez. )
2. Quelle v.a.r T doit-on considérer si l'on veut trouver P( Y < 57,68 ) ?
3. Trouver P( Y < 57,68 ).
REP. 1. Non. E( Y ) = 50 Donc E( Y ) ≠ 0. Y n'est pas centrée. σ( Y ) ≠ 1 . Y n'est pas réduite. 2. On doit considérer T = ( Y - 50 ) / 4 . T est de loi normale N( 0 ; 1 ). 3. Ainsi : P( Y < 57,68 ) = P( T < ( 57,68 - 50 ) / 4 ) c-à-d P( Y < 57,68 ) = P( T < 1,92) = ∏(1,92) = 0,9726 P( Y < 57,68 ) = 0,9726 EX 4. Soit T une v.a.r. ( continue) de loi normale N( 0 ; 1). 1. Trouver P( T < 1,96 ) c-à-d trouver ∏( 1,96). 2.Trouver le réel positif a tel que P( - a <T < a ) = 0,95.
REP. 1. On a d'après la table de loi normale centrée réduite:
∏( 1,96 ) = 0,9750.
2. P( - a <T < a ) = 0,95 se traduit par ∏( a ) - ∏( - a ) = 0,95
c-à-d ∏( a ) - ( 1 - ∏( a ) = 0,95
c-à-d 2 ∏( a ) - 1 = 0,95
c-à-d ∏( a ) = 1,95 / 2 = 0,9750
D'après la première question on a donc a = 1,96
EX 5. Soit X une v.a.r qui indique la masse en Kg de sac d'oranges.
On admet que X suit une loi normale N( m ; σ ).
On sait que 60% des sacs ont une masse inférieure à 5,025 Kg et 50%
des sacs ont une masse supérieure à 4,085 Kg.
1. Que vaut P( X < 5,025 )?
2. Que vaut P( X > 4,085 ) ?
3. Trouver les deux paramètres m et σ de X.
REP 1. P( X < 5,025) = 0,60.
2. P( X > 4,085 ) = 0,50
3. Trouvons les paramètres de X. Posons T = ( X - m ) / σ
• • On a: P( X < 5,025) = 0,60 Donc P ( T < ( 5,025 - m ) / σ ) = 0,60
Par lecture de la table en sens contraire on a :
( comme 0,60 proche de 0,602 )
( 5,025 - m ) / σ = 0,25 environ ( 1 )
• On a : P( X > 4,085 ) = 0,50 c-à-d 1 - P( X < 4,085 ) = 0,50
c-à-d P( X < 4,085 ) = 0,50
Donc P ( T < ( 4,085 - m ) / σ ) = 0,50
Par lecture de la table en sens contraire on a:
( 4,085 - m ) / σ = 0,0 environ ( 2 )
( 1 ) et ( 2 ) forment un système d'inconnues m et σ .
On obtient; m = 4,085
D'où ( 5,025 - m ) / σ = 0,25 donne
σ = ( 5,025-4,085 )/ 0,25 = 3,7