INFORMATION EX 1 SUJET BTS 2003
1.a. On répète 100 fois une épreuve de Bernoulli , de façon indépendante, comportant
deux issues " Adulte" ,"Mineur".
La probabilité de "Adulte" est p =0,608.
La probabilité de "Mineur" est q = 1 - p = 0,392.
Donc la variable aléatoire X qui indique le nombre de "Adultes " suit la loi
binomiale B( 100; 0,608).
b . E(X ) = np c-à-d ici E(X) = 100×0,608 = 60,8
E( X ) = 60,8
L'écart-type est √(npq) . Donc σ(X) =√(60,8 × 0,392) = 4,8820.
σ(X) ≈ 4,882
c. P( X = 60 ) = (100 60 ) 0,60860 × 0,39240 ≈ 0,0801
Soit donc: P( X = 60 ) = 0, 080
2. m est l'espérance de Y et σ est son écart- type.
On prend pour m l'espérance de X et pour σ l'écar-type de X.
Ainsi m = 60,8 et σ = 4,882.
On approche X par la variable aléatoire Y de loi normale N (60,8 ; 4,882)
3. On centre et on réduit Y en considérant la nouvelle variable aléatoire T
de loi normale N( 0 ; 1 ) en posant : T = ( Y - m ) / σ.
Alors T est d'espérance 0 et d'écart-type 1.
On pose pour simplifier ,d'après l'énoncé, m = 61 et σ = 4,9.
Y est une variable aléatoire "continue" . Il nous faut considérer des
probabilités d'intervalles.
La condition 59,5 ≤ Y ≤60,5 s'écrit (59,5 - 61) / 4,9 ≤ T ≤ ( 60,5 - 61 ) / 4,9.
Ainsi:
P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 ) = P ( (59,5 - 61) / 4,9 ≤ T ≤ ( 60,5 - 61 ) / 4,9)
c-à-d P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 ) = P ( - 15 / 49 ≤ T ≤ - 5 / 49 ) = ∏ ( - 5 / 49 ) - ∏ ( - 15 / 49 )
P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 ) = 1 - ∏( 5 / 49 ≤ T ) - ( 1 - ∏( 15 / 49) )
c-à-d P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) = ∏( 15 / 49) - ∏( 5 / 49)
c-à-d P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) = ∏( 15 / 49) - ∏( 5 / 49)
On dispose de la table pour loi normale N ( 0 ; 1 ) .
| t | 0,00 | 0,01 |
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 |
| 0,2 | 0,5793 | 0,5832 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 |
•• ∏( 15 / 49 ) ≈ ∏ ( 0,30612) Mais cette valeur n'est pas donnée par la table
La table donne: ∏( 0,30 ) ≈ 0,6179
( à l'intersection de la ligne 0,3 avec la colonne 0,00 )
La table donne aussi ∏( 0,31 ) ≈ 0,6217
( à l'intersection de la ligne 0,3 et de la colonne 0,01 )
POUR APPROCHER ∏ ( 0,30612) on fait un partage proportionnel:
On considère: 0,6179 + ( ( 0,6217 - 0,6179 ) / 0,01 ) × ( 0,30612- 0,3 )
On obtient : ∏( 0,30612 ) ≈ 0,62023
•• Pour ∏ ( 5 / 49 ) = ∏( 0,1020 ) on procède de la même façon.
La table donne : ∏( 0,10 ) ≈ 0,5398
La table donne : ∏( 0,11 ) ≈ 0,5438
On obtient : 0,5398 +( ( 0,5438 - 0,5398 ) / 0,01 ) × ( 0,1020 - 0,10 )
Ainsi : ∏( 0,1020 ) ≈ 0,54060
0,62023 - 0,54060 = 0,07963
On peut prendre: 0,08 comme valeur approchée de ∏( 15 / 49 ) - ∏( 5 / 49 )
Conclusion: P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) = 0,08
4. Calcul de P( Y ≥ 54,5 ).
P( Y ≥ 54,5 ) = P( ( Y - 61 ) / 4,9 ≥ ( 54,5 - 61 ) / 4,9 )
P( Y ≥ 54,5 ) = P( T ≥ - 65 / 49 )
P( Y ≥ 54,5 ) = 1 - P( T < - 65 / 49 ) = 1 - ∏( - 65 / 49 )
P( Y ≥ 54,5 ) = 1 - ( 1 - ∏( 65 / 49 ) ) = ∏( 65 / 49 )
P( Y ≥ 54,5 ) = ∏( 65 / 49 ) ≈ ∏( 1,3265 )
Avec la table: ∏( 1,32 ) ≈ 0,9066
∏( 1,33 ) ≈ 0, 9082
Considérons : 0,9066 + ( ( 0,9082 - 0,9066 ) / 0,01 ) × ( 1,3265 -1,32 )
On obtient : ∏( 1,3265 ) ≈ 0,90764
Conclusion: ∏( 1,3265 ) ≈ 0,908 au millième près.
t
0,00
0,01
0,02
0,03
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
...
....
....
..
..
...
...
..
...
...
1,3
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
Rappel: Quand T est une v.a.r de loi normale N( 0 ; 1 )
∏( a ) = P( T ≤ a ) avec a un réel.
∏ est la fonction de répartition de T
∏(- a ) = 1 - ∏(a)
P( a ≤ T ≤ b ) = ∏( b ) - ∏( a ) quand a ≤ b