BTS 1S TS OCT. 2008
1. Variable aléatoire discrète.
Soit une expérience aléatoire dont l'univers des possibles est: Ω = { ω1 , ..... , ωn }.
( n étant un entier naturel non nul.)
Une variable aléatoire discrète est une application de Ω dans IR qui prend des valeurs
que l'on peut indéxer ; x1 , ......... , xN .
X ( Ω ) = { x1 , ......... , xN } est l'univers image. ( N est un entier naturel non nul . )
On note : ( X = x1 ) = { ω dans Ω / X ( ω) = x1 }
..................................................
( X = xi ) = { ω dans Ω / X ( ω) = xi }
.....................................................
( X = xN ) = { ω dans Ω / X ( ω) = xN }.
Ce sont des événements.
( X = x1 ) , ............. , ( X = xN ) constituent une partition de Ω .
Cela veut dire que ce sont des parties non vides de Ω , deux à deux disjointes ,
et dont la réunion est Ω .
Loi de probabilité de X.
Elle est définie par un tableau.
x
x1
.....
.....
xN
P ( X = x )
P( X = x1 )
P( X = xN )
L'espérance de X est le réel: E ( X ) = x1 P( X = x1 )+ ........... + xN P( X = xN ).
La variance de X est: V (X ) = ( x1 - E( X ) )2 P( X = x1 ) + ......... + ( xN - E( X ) )2 P( X = xN )
c-à-d V (X ) = x12 P( X = x1 ) + ......... + xN2 P( X = xN ) - ( E( X ) ) 2
c-à-d V (X ) = E ( ( X - E ( X ) )2 )
c'est aussi: V (X ) = E ( X2 ) - ( E (X ) ) 2.
L'écart-type de X est : σ(X) = √V(X).
σ(X) permet de valider la valeur centrale E(X).
Plus σ(X) est grand moins E(X) est valide.
La fonction de répartition de X est la fonction F définie dans IR par: F ( x ) = P ( X ≤ x ).
Elle est à valeurs dans l'intervalle [ 0 , 1 ] . Sa courbe est en escalier.
2 . Propriété.
Avec les mêmes notations:
Soit a et b deux réels. Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes.
On a : E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )
E ( X - Y ) = E ( X ) - E ( Y )
E( a X + b ) = a E( X ) + b
V( a X + b ) = a2 V(X)
σ( a X + b ) = I a I σ(X).
3 . Une variable aléatoire est centrée quand son espérance est nulle.
4. Une variable aléatoire est réduite quand son écart-type vaut 1. 5. Comment centrer et réduire une variable aléatoire X. Simplement en considérant la nouvelle variable aléatoire; T = ( X - E ( X ) ) / σ(X) . 6. Variables aléatoire indépendantes. Soit X et Y deux v.a.r. Soit x1 , ..... , xi , .. , xN les valeurs de X. Soit y1 , ....., yj , .... , xQ les valeurs de Y. X et Y sont indépendantes ssi P ( ( X = xi ) ∩ ( Y = yj ) ) = P( X = xi ) × P ( Y = yj ) pour tous les i et tous les j. 7. Propriété. Soit X et Y deux v.a.r. indépendantes. Alors : V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) et V ( X - Y ) = V ( X ) - V ( Y ) ATTENTION : σ( X + Y ) n'est pas σ(X) + σ(Y) . σ( X + Y ) = √ ( V ( X ) + V ( Y ) ) 8. EXEMPLE. Dans une fête foraine un stand propose de faire tourner une roue comportant 10 secteurs égaux; 3 secteurs rouge ; 4 secteurs jaunes ; 3 secteurs verts. • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 16 euros. • Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 1 2 euros. • Si le joueur obtient le secteur vert alors il fait de nouveau tourner la roue. • • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 8 euros. • • Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 2 euros. • • Si le joueur obtient le secteur vert alors il ne perd rien et ne gagne rien. Soit X le gain algébrique du joueur. 1. Donner la loi de probabilité de X. 2. Donner l'espérance de X. ( On commencera par faire un arbre pondéré.) 3. Quel devrait être le montant à faire payer par le joueur pour que le jeu soit équitable? 4. Trouver l'écart-type de X. 5. Représenter la fonction de répartition F de X. Information: 1. Les valeurs prises par X sont : - 12 ; - 2 ; 0 ; 8 ; 16 . La loi de probabilité de X est:
x
-12
-2
0
8
16
P( X =x)
40 / 100
12 / 100
9 / 100
9 / 100
30 / 100
P( X = 16 ) = 3 / 10 car il y a 3 secteurs rouges parmi les 10 secteurs.
P( X = - 12 ) = 4 / 10 car il y a 4 secteurs jaunes parmi les 10 secteurs.
P( X = 8 ) = P ( V1 ) P( R2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) ( 3 / 10 ) = 9 / 100
P( X = - 2 ) = P ( V1 ) P( J2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) ( 4 / 10 ) = 12 / 100
P( X = 0 ) = P ( V1 ) P( V2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) (3 / 10 ) = 9 / 100
2. L'espérance de X est:
E( X ) = -12 ×( 40 / 100) - 2 ×(12 / 100 ) + 8 ×( 9 / 100 ) + 16 ×( 30 / 100 ) = 0 , 48
E( X ) = 0 , 48
3. Pour que l'espérance soit nulle il faut faire payer 0,48 euros au joueur pour jouer.
Cela revient à considérer la v.a.r Y = X - 0,48 dont l'espérance est nulle.
4. La variance de X est V( X ):
V(X) =( -12 )2 × ( 40 / 100)+ ( - 2)2 × (12 / 100 ) + 8 2 × ( 9 / 100 ) + 162 ×( 30 / 100 ) - 0,482
V(X) = 140,4096
5. L'écart-type est: σ( X) = √ V(X) = 11,8495
6. Fonction de répartition F.
On a:
• F( x ) = P( X ≤ x) = P ( Ø ) = 0 quand x < -12.
• F(x) = P( X ≤ x) = P ( X = - 12 ) = 40 / 100 quand - 12 ≤ x <- 2.
• F(x) = P( X ≤ x) = P ( X = - 12 ) + P (X = - 2 )
c-à-d F(x) = ( 40 / 100 ) + ( 12 / 100 ) = 52 / 100 quand - 2 ≤ x < 0
• F(x) = P( X ≤ x) = P ( X = - 12 ) + P (X = - 2 ) + P ( X = 0 )
c-à-d F( X ) = ( 52 / 100 ) + ( 9 / 100) = 61 / 100 quand 0 ≤ x < 8
• F(x) = P( X ≤ x) = P ( X = - 12 ) + P (X = - 2 ) + P ( X = 0 ) + P (X = 8 )
c-à-d F(x) = ( 61 / 100 ) + ( 9 / 100 ) = 70 / 100 quand 8 ≤ x < 16
• F(x) = P( X ≤ x) = P ( X = - 12 ) + P (X = - 2 ) + P ( X = 8 ) + P ( X = 16)
F(x) = 1 quand 16 ≤ x
Cela permet d'avoir la courbe en escalier de F.