VARIABLE ALEATOIRE DE LOI NORMALE BTS OCT 08
1. Variable aléatoire continue X.
C'est une v.a.r. X qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle
comme IR , IR+ ..... etc
Par exemple ce peut être la durée de vie d'un composant
électronique.
La loi de probabilité n'est plus caractérisée par un tableau
car il y aurait une infinité de colonnes.
La loi de probabilité de la v.a.r continue X est une fonction,
densité de probabilité, f .
f est elle même définie dans IR , continue , à valeur dans
l'intervalle [ 0 , 1 ] et l'aire sous la courbe de f , sur IR , vaut 1.
( Ce qui s'écrit ∫-∞ +∞ f ( t ) dt = 1 )
2. EX Soit la v.a.r continue X de fonction densité de probabilité
f : t→ ( 1 / √(2 Π ) ) e( - t² / 2)
sur IR .
( Dans ce cas X est dite de loi normale N ( 0 ; 1 ) comme on le verra . )
3. DEFINITION.
Soit X une v.a.r continue de fonction densité de probabilité f.
Soit a , b des réels.
On définit : P( X = a ) = 0 .
P( X < a ) = P( X ≤ a ) = ∫-∞ a f ( t ) dt
P( a < X < b ) = P( a ≤ X ≤ b) = ∫a b f ( t ) dt si a ≤ b
P ( X > a ) = P( X ≥ a ) = 1 - P( X < a ) = 1 - P( X ≤ a )
( Ces formules servent peu sous cette forme pour les exercices pratiques.)
4. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE X DE LOI NORMALE N( m ; σ).
C'est une v.a.r continue de fonction densité de probabilité
f : t → ( 1 / (σ√(2 Π ) )) e - ( ( t - m) / σ)² / 2 )
m étant un réel.
σ étant un réel positif strictement positif.
E( X ) = m et σ( X ) = σ .
La fonctionde répartition est F : x →∫-∞ x f ( t ) dt
c-à-d F( x ) =P( X < x ) = P( X ≤ x )
5. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE X DE LOI NORMALE N( 0 ; 1).
C'est une v.a.r continue de fonction densité de probabilité f : t→ ( 1 / √(2 Π ) ) e( - t² / 2)
6. REMARQUE .
Chaque fois on se raménera à une v.a.r continue CENTREE REDUITE.
Si X est une v.a.r continue de loi normale N( m ; σ)
alors on prendra alors la v.a.r continue centrée réduite Y =( X- m) / σ
de loi N( 0 ; 1 ).
La table pourra être utilisée alors.
7. NOTATIONS.TRES IMPORTANTES
Soit a , b des réels.
Soit X une v.a.r continue de loi N( 0 ; 1).
On note: ∏( a ) = P ( X ≤ a ) = P( X < a ) = F( a )
Il en résulte d'autre formules.
P ( a ≤ X ≤ b ) = P( a < X < b ) = ∏( b ) - ∏( a ) si a ≤ b .
∏( - a ) = 1 - ∏( a )
8. APPROXIMATION D' UNE LOI BINOMIALE B( n ; p ) PAR UNE LOI NORMALE.
Soit X une v.a.r ( discrète) de loi binomiale B ( n ; p )
Si n est grand et p n'est pas proche des bornes de l'intervalle [ 0 , 1 ]
alors on peut approcher X par la v.a.r continue Y de loi normale N ( E( X ) ; σ( X ) )
c'est-à-dire N( np ; √( np ( 1 - p )) )
9. APPROXIMATION D' UNE LOI de POISSON PAR UNE LOI NORMALE.
Soit X une v.a.r ( discrète) de loi de Poisson de paramètre λ > 0 .
On peut l'approcher par la v.a.r continue Y de loi normale N( E( X ) ; σ( X ) )
c'est-à-dire N( λ ; √( λ ) ) .